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高考数一轮复习 第八章 第三节 圆的方程突破热点题型 文VIP免费

高考数一轮复习 第八章 第三节 圆的方程突破热点题型 文_第1页
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第三节圆的方程考点一求圆的方程[例1](1)经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为________________.(2)(·江西高考)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是________________.[自主解答](1)法一:由题知kAB=2,A,B的中点为(4,0),设圆心为C(a,b). 圆过A(5,2),B(3,-2)两点,∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上.则解得∴C(2,1),r=|CA|==.∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.法二:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则解得故圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.法三:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则解得D=-4,E=-2,F=-5.∴所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-5=0.(2)由已知可设圆心为(2,b),由22+b2=(1-b)2=r2,得b=-,r2=.故圆C的方程为(x-2)2+2=.[答案](1)x2+y2-4x-2y-5=0(或(x-2)2+(y-1)2=10)(2)(x-2)2+2=【互动探究】本例(2)“中与直线y=1”“相切改为圆心在y=1”上,结果如何?解: 圆过点O(0,0)和点(4,0).∴圆心在直线x=2上,又 圆心在y=1上,∴圆心的坐标为(2,1),半径r==.因此,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.【方法规律】求圆的方程的两种方法(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.(2)待定系数法:若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值.求下列圆的方程:(1)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2);(2)过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2).解:(1)法一:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则有解得a=1,b=-4,r=2.故所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.法二:过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3.与y=-4x联立可得圆心为(1,-4),所以半径r==2.故所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.(2)法一:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).则解得D=-2,E=-4,F=-95,所以所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.法二:由A(1,12),B(7,10),得AB的中点坐标为(4,11),kAB=-,则AB的中垂线方程为3x-y-1=0.同理得AC的中垂线方程为x+y-3=0.联立得即圆心坐标为(1,2),半径r==10,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=100.考点二与圆有关的轨迹问题[例2](·新课标全国卷Ⅰ)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.[自主解答]由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x≠-2).(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2.若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l与圆M相切得=1,解得k=±.当k=时,将y=x+代入+=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1=,x2=.所以|AB|=|x2-x1|=.当k=-时,由图形的对称性可知|AB|=.综上,|AB|=2或|AB|=.【方法规律】求与圆有关的轨迹方程的方法已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.解:(1)法一:设顶点C(x,y),因为AC⊥BC,所以x≠3且x≠-1.又kAC=,kBC=,且kAC·kBC=-1,所以·=-1,即x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).法二:设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知,|CD|=|AB|=2,由圆的定义知,动点C的轨...

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