第三节圆的方程考点一求圆的方程[例1](1)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________________．(2)(·江西高考)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________________．[自主解答](1)法一：由题知kAB＝2，A，B的中点为(4,0)，设圆心为C(a，b)． 圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上．则解得∴C(2,1)，r＝|CA|＝＝.∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则解得故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.法三：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则解得D＝－4，E＝－2，F＝－5.∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.(2)由已知可设圆心为(2，b)，由22＋b2＝(1－b)2＝r2，得b＝－，r2＝.故圆C的方程为(x－2)2＋2＝.[答案](1)x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10)(2)(x－2)2＋2＝【互动探究】本例(2)“中与直线y＝1”“相切改为圆心在y＝1”上，结果如何？解： 圆过点O(0,0)和点(4,0)．∴圆心在直线x＝2上，又 圆心在y＝1上，∴圆心的坐标为(2,1)，半径r＝＝.因此，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.【方法规律】求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．求下列圆的方程：(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．解：(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有解得a＝1，b＝－4，r＝2.故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3.与y＝－4x联立可得圆心为(1，－4)，所以半径r＝＝2.故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.(2)法一：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．则解得D＝－2，E＝－4，F＝－95，所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.法二：由A(1,12)，B(7,10)，得AB的中点坐标为(4,11)，kAB＝－，则AB的中垂线方程为3x－y－1＝0.同理得AC的中垂线方程为x＋y－3＝0.联立得即圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝10，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100.考点二与圆有关的轨迹问题[例2](·新课标全国卷Ⅰ)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.[自主解答]由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2.若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则＝，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l与圆M相切得＝1，解得k＝±.当k＝时，将y＝x＋代入＋＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1＝，x2＝.所以|AB|＝|x2－x1|＝.当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝.综上，|AB|＝2或|AB|＝.【方法规律】求与圆有关的轨迹方程的方法已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解：(1)法一：设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，所以x≠3且x≠－1.又kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1，所以·＝－1，即x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|＝|AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨...
