第三节等比数列及其前n项和考点一等比数列的判定与证明[例1]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．[自主解答]an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.＝＝＝＝2， S2＝a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝5.∴b1＝a2－2a1＝3.∴数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．【互动探究】保持本例条件不变，若cn＝，证明：{cn}是等比数列．证明：由例题知，bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，∴－＝3.∴数列是首项为2，公差为3的等差数列．∴＝2＋(n－1)×3＝3n－1，∴an＝(3n－1)·2n－2，∴cn＝2n－2.∴＝＝2.∴数列{cn}为等比数列．【方法规律】等比数列的判定方法证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2…＋＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是()A．数列{bn}为等差数列，公差为qmB．数列{bn}为等比数列，公比为q2mC．数列{cn}为等比数列，公比为qm2D．数列{cn}为等比数列，公比为qmm解析：选Cbn＝am(n－1)＋1·(1＋q＋q2…＋＋qm－1)，＝＝qm，故数列{bn}为等比数列，公比为qm，选项A、B均错误；cn＝a·q1＋2…＋＋(m－1)，＝＝m＝(qm)m＝qm2，故数列{cn}为等比数列，公比为qm2，D错误，故选C.高频考点考点二等比数列的基本运算[例2](1)(·新课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()A.B．－C.D．－(2)(·浙江高考)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.(3)(·湖北高考)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.①求数列{an}的通项公式；②是否存在正整数n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．[自主解答](1)由已知条件及S3＝a1＋a2＋a3，得a3＝9a1，设数列{an}的公比为q，则q2＝9.所以a5＝9＝a1·q4＝81a1，得a1＝.(2)由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2作差，可得a3＋a4＝3a4－3a2，即2a4－a3－3a2＝0，所以2q2－q－3＝0，解得q＝或q＝－1(舍)．(3)①设数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0.由题意得即解得故数列{an}的通项公式为an＝3×(－2)n－1.②由①有Sn＝＝1－(－2)n.若存在n，使得Sn≥2013，则1－(－2)n≥2013，即(－2)n≤－2012.当n为偶数时，(－2)n>0，上式不成立；当n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2012，即2n≥2012，则n≥11.综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．[答案](1)C(2)等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略(1)化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素a1和q，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．(2)化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．(3)化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．(4)化基本量求和．直接将基本量代入前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解．1．(·新课标全国卷Ⅰ)设首项为1，公比的等比数列{an}的前n项和为Sn，则()A．Sn＝2an－1B．Sn＝3an－2C．Sn＝4－3anD．Sn＝3－2an解析：选D因为a1＝1，公比q＝，所以an＝n－1，Sn＝＝3＝3－2n－1＝3－2an.2．(·宁波模拟)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.解析：设数列{an}的首项为a1，公比为q， a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴由①得a1＝q，由②知q＝2或q＝，又数列{an}为递增数列，∴a1＝q＝2，从而an＝2n.答案：2n3．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.解：(1) S1，S3，S2成等差数列，∴a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)．由于a1≠0，故2q2＋q＝0，又q≠0，从而q＝－.(2)由已知可得a1－a12＝3，故a1＝4，从而Sn＝＝.考点三等比数列的性质[例3](1)已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则前9项之和...
