教学案例三角函数的周期性一、教学目标1．体验生活中的周期性，理解周期函数的概念，周期函数的周期和最小正周期的定义；2．掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出y=Asin(ωx+φ)，y=Acos(ωx+φ)的最小正周期；3．培养学生由具体到抽象的归纳能力，培养学生严谨的逻辑思维能力；4．感受生活中的数学，抽象出数学的本质，学会运用联系的观点认识事物，从而激发学生的学习兴趣．教学重点：周期函数的定义、正弦函数、余弦函数周期性、计算公式及应用．教学难点：周期函数的理解．二、教学过程（一）问题情境（1）“离离原上草，一岁一枯荣，野火烧不尽，春风吹又生”蕴含了什么数学知识？（2）（课件演示）转动的摩天轮：任意一点P的位置转动一圈以后回到原来的位置．（3）我们为什么只需排出一个星期的课表，而不是按日期排出每天课表？教师引导学生分析后，再让学生找出生活中许多周而复始的例子：时钟，季节，月，日，天体运动等，体验生活中的周期性．（二）数学探究1．以星期为例，解决这样一个问题，“今天是星期一，10天后将是星期几，1000天后将是星期几”，从而引出f(x+T)=f(x)的含义及应用．2．观察三角函数线的变化规律（1）正弦函数值、余弦函数值是有规律不断重复出现的；（2）规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）；（3）这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx,cos(2k+x)=cosx也可以说明．结论：象这样一种函数叫做周期函数。（三）数学理论周期函数定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．注意：（1）常数T不为0；1（2）x必须是定义域内的任意值，满足f(x＋T)＝f(x)；（3）若T为函数的周期，则nT为函数的周期．若一个周期函数中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期（一般称为周期），如y=sinx,y=cosx的最小正周期为2．（三）数学应用例1．若钟摆的高度h（mm）与时间t（s）之间的函数关系如图所示．（1）求该函数的周期；（2）求t=10s是钟摆的高度．例2．求下列三角函数的周期：1（1）y=cos2x；（2）y=3sin(－)。总结一般规律：形如(A,ω,φ为常数,)周期为，若，则最小正周期：．练习：1．求下列函数的周期：（1）y=sin(2x+)（2）y=2cos(3x-)（3）y=2sin(x+)2．若函数的最小正周期为，求正数的值。（四）拓展与延伸思考1：函数，的周期性问题．思考2：在你学过的函数中，能找出周期函数吗？你能自己编个周期函数吗？思考3：考察下列函数是否为周期函数？(1)，；；(3)。思考4：已知函数f(x)对定义域中的每个自变量都有f(x+2)=－f(x),它是周期函数吗？如果是，它的周期是多少？（五）归纳小结（1）一般函数周期的定义，周期，最小正周期；（2）周期求法．（六）作业（略）．点评：数学源于生活，高于生活．教师在教学中借助于生活情境，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在，深入浅出地阐明周期性，并从中抽象出周期函数的概念，能收到事半功倍的效果．一个优化的，充满情感和智慧的学习情境是激励学生自主建构学习的根本保证．教师在教学中能以有层次的问题引导学生自主探究，探索周期的定义与性质，并结合三角函数知识进行应用，使数学课堂生动、深刻．2
