错位相减法求和VIP免费

错位相减法求数列前n项和罗维教学目标：利用错位想减法求一类数列前n项的和。如果一个数列的各项由一个等差数列的各项和一个等比数列对应项乘积组成，那么这个数列的前n项和可用此法来求．即求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．例题1.(2016·山东高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝an＋1n＋1bn＋2n，求数列{cn}的前n项和Tn.[解](1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，当n＝1时，a1＝S1＝11，满足上式，所以an＝6n＋5.设数列{bn}的公差为d.由a1＝b1＋b2，a2＝b2＋b3，即11＝2b1＋d，17＝2b1＋3d，可解得b1＝4，d＝3.所以bn＝3n＋1.(2)由(1)知cn＝6n＋6n＋13n＋3n＝3(n＋1)·2n＋1，又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×4＋41－2n1－2－n＋1×2n＋2＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2.[例2](2014·安徽高考)数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.(1)证明：数列ann是等差数列；(2)设bn＝3n·an，求数列{bn}的前n项和Sn.(1)证明：由已知可得an＋1n＋1＝ann＋1，即an＋1n＋1－ann＝1.所以ann是以a11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得ann＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.从而bn＝n·3n.Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.②①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝3·（1－3n）1－3－n·3n＋1＝（1－2n）·3n＋1－32.所以Sn＝（2n－1）·3n＋1＋34.[探究1]若本例(2)中的bn＝2an－12n，如何求解？解： an＝n2，∴bn＝2n－12n，n∈N*.∴Tn＝12＋322＋523＋…＋2n－12n，12Tn＝122＋323＋…＋2n－32n＋2n－12n＋1.两式相减，得12Tn＝12＋222＋223＋…＋22n－2n－12n＋1＝32－12n－1－2n－12n＋1，所以Tn＝3－2n＋32n.[探究2]若本例(2)中的bn＝(2n－1)an，如何求解？解： an＝n2，∴bn＝(2n－1)n＝n·2n－n.设An＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，则2An＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，∴－An＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝2（1－2n）1－2－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2，∴An＝(n－1)2n＋1＋2.设Bn＝1＋2＋3＋4＋…＋n，则Bn＝n（n＋1）2，∴Sn＝An－Bn＝(n－1)2n＋1＋2－n（n＋1）2.已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，n∈N*，证明Tn－8＝an－1bn＋1(n∈N*，n≥2)．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由条件，得方程组2＋3d＋2q3＝27，8＋6d－2q3＝10，解得d＝3，q＝2.所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*.(2)证明：由(1)，得Tn＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n－1)×2n，①2Tn＝2×22＋5×23＋…＋(3n－4)×2n＋(3n－1)×2n＋1.②由①－②，得－Tn＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－1)×2n＋1＝6×（1－2n）1－2－(3n－1)×2n＋1－2＝－(3n－4)×2n＋1－8，即Tn－8＝(3n－4)×2n＋1.而当n≥2时，an－1bn＋1＝(3n－4)×2n＋1，所以Tn－8＝an－1bn＋1，n∈N*，n≥2.课堂练习：已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an(n∈N*)．设bn＝3log2an－2(n∈N*)，数列{cn}满足cn＝anbn，则数列{cn}的前n项和Sn＝________．解析：由已知可得，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an＝a1qn－1＝2n，bn＝3log22n－2，∴bn＝3n－2，∴cn＝anbn＝(3n－2)×2n，∴Sn＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋(3n－2)×2n①，∴2Sn＝1×22＋4×23＋7×24＋…＋(3n－5)×2n＋(3n－2)×2n＋1②，①－②得－Sn＝1×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－2)×2n＋1，整理得Sn＝10－(5－3n)·2n＋1.答案：10－(5－3n)·2n＋1当堂检测已知a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{an}是公差为正数的等差数列，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－12bn(n...