第十二知识块推理与证明第1讲合情推理与演绎推理一、选择题1．下面使用类比推理恰当的是()A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“＝＋”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“＝＋(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”解析：由类比推理的特点，知C正确．答案：C2．(·模拟精选)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289B．1024C．1225D．1378解析：根据图形的规律可知第n个三角形数为an＝，第n个正方形数为bn＝n2，由此可排除D(1378不是平方数)．将A、B、C选项代入到三角形数表达式中检验可知，符合题意的是C选项．答案：C3．观察等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝和sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝，…，由此得出以下推广命题不正确的是()A．sin2α＋cos2β＋sinαcosβ＝B．sin2(α－30°)＋cos2α＋sin(α－30°)cosα＝C．sin2(α－15°)＋cos2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝D．sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝解析：观察已知等式不难发现，60°－30°＝50°－20°＝45°－15°＝30°，从而推断错误的命题为A.答案：A4．(·南京第一次调研)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为()A．105B．106C．107D．108解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923，2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.答案：C二、填空题5．(·青岛二检)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖的块数是________．解析：白色地面砖的块数构成以6为首项，以4为公差的等差数列，故第n个图案中有白色地面砖6＋4(n－1)＝4n＋2(块)．答案：4n＋26．(·广东深圳调研)给出下列不等式：….请将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使上述不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为________．解析：由“23＋53＞22·5＋2·52”，“24＋54＞23·5＋2·53”，可得推广形式的最基本的印象：应具有“□□＋□□＞□□·□□＋□□·□□”的形式．再分析底数间的关系，可得较细致的印象：应具有“a□＋b□＞a□·b□＋a□·b□”的形式．再分析指数间的关系，可得准确的推广形式：am＋n＋bm＋n＞ambn＋anbm(a，b＞0，a≠b，m，n＞0)．答案：am＋n＋bm＋n＞ambn＋anbm(a，b＞0，a≠b，m，n＞0)7．对于等差数列{an}有如下命题：“若{an}是等差数列，a1＝0，s、t是互不相等的正整数，则有(s－1)at＝(t－1)as”．类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题是：“______________________________________________”．答案：若{bn}是等比数列，b1＝1，s，t是互不相等的正整数，则有b＝b8．(·山东聊城调研)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－.那么对于双曲线则有如下命题：AB是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝________.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)则有. －＝1，－＝1.两式相减得＝，即＝，即＝，即kOM·kAB＝.答案：三、解答题9．已知函数f(x)＝(ax－a－x)，a＞1.(1)用a表示f(2)，f(3)，并化简；(2)比较f(2)－2与f(1)－1，f(3)－3与f(2)－2的大小，并由此归纳出一个更一般的结论(不要求写出证明过程)．解：(1)f(2)＝a＋，f(3)＝a2＋＋1.(2)因为f(1)－1＝0...
