第3课时命题及其关系一、填空题1．(盐城市调研考试)直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1平行的充要条件是m＝________.解析：由题意得＝≠，∴m＝－.答案：－2．命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为________．答案：若a≤b，则2a≤2b－13．(苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查)已知集合A＝{x|x＞5}，集合B＝{x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得，A是B的真子集，故a＜5为所求．答案：a＜54．(·济南调研)设有一组圆Ck：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4(k∈N*)．下列四个命题①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．其中真命题的代号是________．(写出所有真命题的代号)解析：圆Ck：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4的圆心坐标为(k－1,3k)，则圆心在直线3x－y＋3＝0上，由k＝1,2,3可作图观察出所有圆都与y轴相交，即(k－1)2＋(y－3k)2＝2k4关于y的方程有解；所有圆均不经过原点，即关于k的方程(k－1)2＋9k2＝2k4，即2k4－10k2＋2k－1＝0，没有正整数解，因此四个命题中②④正确．答案：②④5．设集合A、B是全集U的两个子集，则AB是(∁UA)∪B＝U的________条件．解析：如上图所示，AB⇒(∁UA)∪B=U；但(∁UA)∪B=UAB，如A=B，因此AB是(∁UA)∪B=U的充分不必要条件．答案：充分不必要6．(南京市调研)下列三个命题：①若函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于y轴对称，则φ＝；②若函数f(x)＝的图象关于点(1,1)对称，则a＝1；③函数f(x)＝|x|＋|x－2|的图象关于直线x＝1对称．其中真命题的序号是________．(把所有真命题的序号都填上)解析：对于命题①还可以得到φ=-，故①为假命题；对于命题②，令x=0得y=-2，所以函数f(x)的图象过(0，-2)，又函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，所以函数f(x)的图象过(2,4)，将点(2,4)代入得a=1，当a=1时，f(x)=，画出函数的图象可知该函数关于点(1,1)对称；对于命题③，在坐标系中画出该函数图象可知该函数的图象关于直线x=1对称，故真命题为②③.答案：②③7．(·泰安抽查卷)设a1，b1，c1，a2，b2，c2均为非零常数，不等式a1x2＋b1x＋c1>0和a2x2＋b2x＋c2>0的解集分别为M与N，那么“＝＝”是“M＝N”的________条件．解析：不等式2x2－x＋1>0，－2x2＋x－1>0对应系数成比例但解集不等；不等式x2＋x＋1>0与x2＋x＋2>0的解集相等，但对应系数不成比例．因此，“＝＝”是“M＝N”的既不充分又不必要条件．答案：既不充分又不必要二、解答题8．若a、b为非零向量，求证|a＋b|＝|a|＋|b|成立的充要条件是a与b共线同向．证明：|a＋b|＝|a|＋|b|⇔(a＋b)2＝(|a|＋|b|)2⇔2a·b＝2|a||b|⇔cos〈a，b〉＝＝1⇔〈a，b〉＝0⇔a，b共线同向．9．设命题p：|4x－3|≤1，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．分析：利用等价性将“綈p是綈q的必要不充分条件”转化为“p是q的充分不必要条件”来求解；或采用求得p，q所对应的集合后，再解出綈p与綈q所对应的集合进行求解．解：设A＝{x||4x－3|≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，易知A＝，B＝{x|a≤x≤a＋1}．由綈p是綈q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，∴，故所求实数a的取值范围是.10．方程x2＋ax＋1＝0(x∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>，这个条件充分吗？为什么？证明：∵方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)有两实根，则Δ＝a2－4≥0，∴a≤－2或a≥2.设方程x2＋ax＋1＝0的两实根分别为x1、x2，则x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝a2－2≥3.∴|a|≥>.∴方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>；但a＝2时，x＋x＝2≤3.因此这个条件不是其充分条件．1．(·全国大联考三江苏卷)“a>b>0”是“”成立的________条件．解析：∵⇒a－2>b－2≥0⇒a>b≥2⇒a>b>0，但逆推不成立，故“a>b>0”是“”成立的必要不充分条件．答案：必要不充分2．试证一元二次方程至多只能有两个不同的实根．证明：假设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)至少有三个不同的实根，不妨设这三个实根为x1，x2，x3.∴①－②得a(x－x)＋b(x1－x2)＝0，由x1≠x2知a(x1＋x2)＋b＝0.④同理②－③整理得a(x2＋x3)＋b＝0，⑤④－⑤得a(x1－x3)＝0.∵a≠0，∴x1－x3＝0即x1＝x3，与假设矛盾．∴一元二次方程至多只能有两个不同的实根．
