第三知识块三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角、弧度及任意的三角函数一、填空题1．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B为________．解析：求出集合A在[－4,4]附近区域内的x的数值，k＝0时，0≤x≤π；k＝1时，x≥2π≥4；在k＝－1时，－2π≤x≤－π，而－2π<－4，－π>－4此时－4≤x≤－π.从而求出A∩B.答案：{x|－4≤x≤－π或0≤x≤π}2．在(0,2π)内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围为________．解析：在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在(0,2π)内，sinx＞cosx，则x∈.答案：3．两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2，则两个扇形周长的比为________.解析：∵＝＝＝，∴＝，∴＝＝＝＝.答案：1∶4．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内，α的取值范围是________．解析：点P在第一象限，其纵坐标y＝tanα＞0，因此α是第一、三象限角，且sinα>cosα，<α<或π<α<.答案：∪5．设α为第二象限角，其终边上一点为P(m，)，且cosα＝m，则sinα的值为________．解析：设P(m，)点到原点O的距离为r，则＝cosα＝m，∴r＝2，sinα＝＝＝.答案：6．(南京市调研测试)已知扇形的周长为8cm，则该扇形面积的最大值为________cm2.解析：设扇形半径为r，弧长为l，则2r＋l＝8，S＝rl＝r×(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，所以Smax＝4.答案：47．函数y＝＋的定义域是________．解析：由题意知即∴x范围为＋2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)．答案：[＋2kπ，π＋2kπ](k∈Z)二、解答题8．已知α的始边为x轴非负半轴，终边在直线y＝kx上，若sinα＝，且cosα＜0，求实数k.解：由sinα＝＞0，cosα＜0，知α位于第二象限，故k＜0，设P(x，kx)(x＜0)是终边上一点，则sinα＝＝＝⇒k＝－2.9．(·烟台模拟)已知扇形OAB的圆心角为4弧度，其面积为2cm2，求扇形周长和弦AB的长．解：设长为l，OA＝r，扇形OAB的面积为S扇形．∵S扇形＝lr，∴lr＝2.①设扇形的圆心角∠AOB的弧度数为α，则|α|＝＝4，②由①②解得r＝1，l＝4，∴扇形的周长为l+2r=4+2×1=6(cm)．如图所示，作OH⊥AB于H，则AB=2AH=2rsin=2rsin(π-2)=2sin2(cm)．10．(经典题)试利用单位圆中的三角函数线证明：当0<α<时，sinα<α0，且r＝，则cosα＝＝x，解得：x＝，∴r＝2，故sinα＝－，tanα＝－.
