第4课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象、三角函数的应用一、填空题1．(·东台中学高三诊断性试卷)若函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴的距离是4π，则ω的值为________．答案：2.电流强度I(安培)随时间t变化的函数I=Asin(ωt+)的图象如上图所示，则当t=秒时的电流强度是.解析：依题意：A=10，，∴，∴ω=100π，∴I=10sin(100πt+)．当t=时，得I=10sin=0.答案：0安培3．(江苏省高考名校信息优化卷)已知x∈[0，m]时，函数y＝sin的值域是[1，]，那么实数m的取值范围是________．解析：如图，函数y=的图象与直线y=1相交，而x∈[0，m]时，函数y=的值域是，故m∈.答案：4．把函数y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是________．解析：y＝sinxy＝siny＝sin.答案：y＝sin，x∈R5．若函数f(x)＝sinax＋cosax(a>0)的最小正周期为1，则它的图象的对称中心为________．解析：∵f(x)＝sinax＋cosax＝sin，∴＝1，∴a＝2π.∴f(x)＝sin，∴对称中心为(k∈Z)．答案：(k∈Z)6．(江苏省高考名校联考信息优化卷)函数y=A(sinωx+)(ω>0，x∈R)的部分图象如图所示，则函数的表达式为.答案：y=7．(江苏省高考名校联考信息优化卷)函数f(x)＝A(sin2ωxcos＋2cos2ωx·sin)－Asin的图象在y轴右侧的第一个最高点(即函数取得最大值的点)为P，在原点右侧与x轴的第一个交点为Q.则函数f(x)的表达式为________．答案：f(x)＝2sin(x∈R)二、解答题8．(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知向量a＝(sinx－cosx，cosx)，b＝(sinx,3cosx－sinx)(x∈R)，且函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若x∈时，求f(x)的最小值；(3)设有不相等的实数x1，x2∈(0，π)，且f(x1)＝f(x2)＝1，求f(x1＋x2)的值．解：因为向量a＝(sinx－cosx，cosx)，b＝(sinx,3cosx－sinx)(x∈R)，且函数f(x)＝a·b，所以f(x)＝sin2x－sinxcosx＋3cos2x－sinxcosx(x∈R)，即f(x)＝－sin2x＋＝2＋cos2x－sin2x＝cos＋2.(1)T＝＝π.(2)由x∈≤，得－2x≤＋π，所以cos(2x＋)∈.故当x＝时，f(x)min＝1.(3)因为x∈(0，π)，所以2x＋∈.又f(x)＝1，得cos＝－，∴2x＋＝π±.又由题意，得x1＝，x2＝或x1＝，x2＝，∴x1＋x2＝π.故f(x1＋x2)＝f＝cos＋2＝3.9．(江苏省高考命题研究专家原创卷)已知向量m＝(sinωx，－cosωx)，n＝(ω>0)，若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的单调递减区间．解：(1)由题意得f(x)＝m·n＝sin2ωx－cosωxcos(ωx＋)＝sin2ωx＋cosωxsinωx＝＋sin2ωx＝sin2ωx－cos2ωx＋＝sin＋.因为函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0，所以＝π，解得ω＝1.(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，得到函数y＝f的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝f，即函数y＝g(x)的图象．由(1)知f(x)＝sin＋，所以g(x)＝f＝sin＋＝sin＋.令2kπ≤≤＋2kπ＋(k∈Z)，解得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π(k∈Z)．因此函数y＝g(x)的单调递减区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z)．10．已知函数f(x)＝－cos(2ωx＋)(A>0，ω>0)，且y＝f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2)．计算f(1)＋f(2)…＋＋f(2008)．解：∵y＝－cos(2ωx＋)，且y＝f(x)的最大值为2，A>0，∴＋＝2，A＝2.又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω>0，∴()＝2，ω＝.∴f(x)＝1－cos(x＋)＝1＋sinx.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋1＋0＋1＝4.又∵y＝f(x)的周期为4,2008＝4×502，∴f(1)＋f(2)…＋＋f(2008)＝4×502＝2008.1．已知函数y＝Asin(ωx＋)＋n的最大值为4，最小值是0，最小正周期是，若A>0，ω>0，则函数解析式为____________．解析：依题意知，∴.又∵T＝，∴ω＝＝＝4，∴y＝2sin(4x＋)＋2.答案：y＝2sin＋22．已知函数f(x)＝asinx＋bcosx的图象经过点和.(1)求实数a和b的值；(2)当x为何值时，f(x)取得最大值．解：(1)依题意，有⇒a＝1，b＝－.(2)由(1)知：f(x)＝sinx－cosx＝2sin.因此，当x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值2.
