实用标准文案文档二项式定理概念篇【例1】求二项式(a－2b)4的展开式.分析：直接利用二项式定理展开.解：根据二项式定理得(a－2b)4=C04a4+C14a3(－2b)+C24a2(－2b)2+C34a(－2b)3+C44(－2b)4=a4－8a3b+24a2b2－32ab3+16b4.说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－2b中的符号“－”忽略.【例2】展开(2x－223x)5.分析一：直接用二项式定理展开式.解法一：(2x－223x)5=C05(2x)5+C15(2x)4(－223x)+C25(2x)3(－223x)2+C35(2x)2(－223x)3+C45(2x)(－223x)4+C55(－223x)5=32x5－120x2+x180－4135x+78405x－1032243x.分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.解法二：(2x－223x)5=105332)34(xx=10321x［C05(4x3)5+C15(4x3)4(－3)+C25(4x3)3(－3)2+C35(4x3)2(－3)3+C45(4x3)(－3)4+C55(－3)5］=10321x(1024x15－3840x12+5760x9－4320x6+1620x3－243)=32x5－120x2+x180－4135x+78405x－1032243x.说明：记准、记熟二项式(a+b)n的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.【例3】在(x－3)10的展开式中，x6的系数是.解法一：根据二项式定理可知x6的系数是C410.解法二：(x－3)10的展开式的通项是Tr+1=Cr10x10－r(－3)r.令10－r=6，即r=4，由通项公式可知含x6项为第5项，即T4+1=C410x6(－3)4=9C410x6.∴x6的系数为9C410.上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？问题要求的是求含x6这一项系数，而不是求含x6的二项式系数，所以应是解法二正确.如果问题改为求含x6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C410.实用标准文案文档说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异.二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.【例4】已知二项式(3x－x32)10，(1)求其展开式第四项的二项式系数；(2)求其展开式第四项的系数；(3)求其第四项.分析：直接用二项式定理展开式.解：(3x－x32)10的展开式的通项是Tr+1=Cr10(3x)10－r(－x32)r(r=0，1，⋯，10).(1)展开式的第4项的二项式系数为C310=120.(2)展开式的第4项的系数为C31037(－32)3=－77760.(3)展开式的第4项为－77760(x)731x，即－77760x.说明：注意把(3x－x32)10写成［3x+(－x32)］10，从而凑成二项式定理的形式.【例5】求二项式(x2+x21)10的展开式中的常数项.分析：展开式中第r+1项为Cr10(x2)10－r(x21)r，要使得它是常数项，必须使“x”的指数为零，依据是x0=1，x≠0.解：设第r+1项为常数项，则Tr+1=Cr10(x2)10－r(x21)r=Cr10xr2520(21)r(r=0，1，⋯，10)，令20－25r=0，得r=8.∴T9=C810(21)8=25645.∴第9项为常数项，其值为25645.说明：二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采用令通项Tr+1中的变元的指数为零的方法求得常数项.【例6】(1)求(1+2x)7展开式中系数最大项；(2)求(1－2x)7展开式中系数最大项.分析：利用展开式的通项公式，可得系数的表达式，列出相邻两项系数之间关系的不等式，进而求出其最大值.解：(1)设第r+1项系数最大，则有,2C2C,2C2C11771177rrrrrrrr实用标准文案文档即,2!)17(!)1(!72!)7(!!7,2!)17(!)1(!72!)7(!!711rrrrrrrrrrrr化简得.313,316.1271,812rrrrrr解得又 0≤r≤7，∴r=5.∴系数最大项为T6=C5725x5=672x5.(2)解：展开式中共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得.又因(1－2x)7括号内的两项中后两项系数的绝对值大于前项系数的绝对值，故系数最大值必在中间或偏右，故只需比较T5和T7两项系数的大小即可.667447)2(C)2(C=1737C4C＞1，所以系数最大项为第五项，即T5=560x4.说明：本例中(1)的解法是求系数最大项的一般解法，(2)的解法是通过对展开式多项分析，使解题过程得到简化，比较简洁.【例7】(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.分析：根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性确定二项式系数最大的项.解：T6=C5n(2x)5，T7=C6n(2x)6，依题意有C5n25=C6n26，解得n=8.(1+2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5=C4n(2x)4=1120x4.设第r+1项...
