第3课时平面的基本性质、空间两条直线的位置关系一、填空题1．空间中A、B、C、D、E五点不共面，已知A、B、C、D在同一平面内，点B、C、D、E在同一平面内，那么B、C、D三点________．解析：∵B、C、D∈α，又B、C、D∈β.答案：一定共线2．给出以下四个命题：①若空间四点不共面，则其中无三点共线；②若直线l上有一点在平面α外，则l在α外；③若直线a、b、c中，a与b共面且b与c共面，则a与c共面；④两两相交的三条直线共面．其中所有正确命题的序号是________．答案：①②3．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两命题中，逆命题为真命题的是________(把符合要求的命题序号都填上)．解析：①的逆命题不正确，如平行四边形，②的逆命题显然是正确的，故逆命题是真命题的是②.答案：②4．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点则在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．解析：用反证法证明③不可能．答案：①②④5．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线有________条．解析：在A1D1上任取一点P.过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设α∩CD=Q，连结PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与A1D1、EF、CD都相交．答案：无数6.如图，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF，则AD、BC所成的角为.解析：取AC的中点G，连接GE、GF，∵E、F、G分别为AB、CD、AC的中点，AD=CB=2，∴EG=GF=1，EG∥BC，FG∥AD.故AD、BC所成角α为∠EGF(或补角)．由三角形余弦定理知cos∠EGF=-，∴cosα=,0°<α≤90°.故α=60°.答案：60°7.如图，A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD=a，则MN=.解析：连结AM、AN并延长分别交BC、DC于E、F，则MN∥BD且.答案：a二、解答题8.如图，α∩β=BC，A∈α，D∈β，E、F、G、H分别是AB、AC、DB、CD上的点，求证：若EF∩GH=P，则P点必在直线BC上．证明：∵α∩β=BC，A∈α，又∵E、F分别是AB和AC上的点，∴E∈α，F∈α.∴EF⊂α.又∵EF∩GH=P，∴P∈EF，∴P∈α.同理，P∈β，又∵α∩β=BC，∴P∈BC，即P点必在BC上．9.如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．证明：如图，连结BD、B1D1，则BD∩AC＝O，∵BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D为平面图形且为平行四边形，又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，又∵H∈平面ACD1，且平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.即D1、H、O三点共线．10.如图，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AE∶EB=AH∶HD=m，CF∶FB=CG∶GD=n.(1)证明：E、F、G、H四点共面；(2)m、n满足什么条件时，EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明EG=FH.(1)证明：∵AE∶EB=AH∶HD，∴EH∥BD.∵CF∶FB=CG∶GD，∴FG∥BD.∴EH∥FG.∴E、F、G、H四点共面．(2)解：当且仅当EHFG时，四边形EFGH为平行四边形．∵，∴EH=BD.同理FG=BD.由EH=FG得m=n.故当m=n时，四边形EFGH为平行四边形．(3)证明：当m=n时，AE∶EB=CF∶FB，∴EF∥AC.又∵AC⊥BD，∴∠FEH是AC与BD所成的角，∴∠FEH=90°，从而EFGH为矩形．∴EG=FH.1．平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面．已知：直线a∥b，a∥平面α，b⊄α.求证：b∥α.证明：如图所示，过直线a及平面α内点A作平面β，设β∩α=c，∵a∥α，∴a∥c.∵a∥b，∴b∥c.∵b⊄α，c⊂α，∴b∥α.2．已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是线段AB、AD的中点，F、G分别是线段CB、CD上的点且＝＝，求证：EF、GH、CA交于一点．证明：如右图，连结BD.∵EH是△ABD的中位线，EHBD.又∵，∴FGBD.∴EH∥FG且EH＜FG.∴四边形EFGH是一个梯形．设EF交GH于P点，∵EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，∴P是平面ABC与平面ACD的公共点．∴点P在两平面的交线AC上，即EF、GH、CA三线交于一点
