第8课时抛物线一、填空题1．(苏州市高三教学调研)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离为________．答案：22．(扬州市高三期末调研)已知抛物线y2＝2px的准线与双曲线x2－y2＝2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为________．解析：抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，双曲线的左准线x＝－＝－＝－1，则－＝－1，p＝2，∴抛物线的焦点坐标为F(1,0)．答案：(1,0)3．(江苏省高考命题研究专家原创卷)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且它的一条准线与抛物线y2＝4x的准线重合，则此双曲线的方程为________．解析：抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，由题意，得，解得，a2＝3，b2＝6，c2＝9，故得所求双曲线的方程为－＝1.答案：－＝14．已知抛物线y＝ax2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．解析：由抛物线y＝ax2－1的焦点坐标为(0，－1)为坐标原点得，a＝，则y＝x2－1与坐标轴的交点为(0，－1)，(－2,0)，(2,0)，则以这三点围成的三角形的面积为×4×1＝2.答案：25．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是________．解析：由y2＝8x知2p＝8，p＝4，设B点坐标为(xB，yB)，由AB直线过焦点F知8yB＝－16，则yB＝－2，∴xB＝.∴线段AB中点到准线的距离为＋2＝.答案：6．(江苏南通模拟)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，F为焦点，A，B，C为抛物线上的三点，且满足FA＋FB＋FC＝0，|FA|＋|FB|＋|FC|＝6，则抛物线的方程为________．解析：由题意可设抛物线的方程为：y2＝2px(p＞0)，则F(，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x2，y2)，∴FA＝(x1－，y1)，FB＝(x2－，y2)，FC＝(x3－，y3)， FA＋FB＋FC＝0，∴(x1－)＋(x2－)＋(x3－)＝0，即x1＋x2＋x3＝①又FA|＋|FB|＋|FC|＝6，由抛物线的定义知：x1＋x2＋x3＋＝6②由①②得p＝2，∴y2＝4x.答案：y2＝4x7．(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知点M为抛物线x2＝2py(p>0)上一点，若点M到抛物线的焦点F的距离为2p，则直线MF的斜率为________．解析：如图，过点M向抛物线的准线作垂线MN，过点F向MN作垂线FQ，由抛物线的定义得MN=MF=2p，∴MQ=p，∴∠MFQ=30°，∴直线MF的倾斜角为150°，直线MF的斜率为，再根据抛物线的对称性可知，直线MF的斜率还可以是，∴直线MF的斜率是.答案：二、解答题8．一个正三角形的顶点都在抛物线上(抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴)，其中一个顶点在原点，三角形的面积是48，求抛物线的方程．解：若抛物线的焦点在x轴正半轴上，如上图，A点与B点关于x轴对称，设正三角形的边长为a，则S△AOB=a2·sin60°=48，解得a=8，∴A(12,4)．设抛物线的标准方程为y2=2px(p＞0)，则(4)2=2p×12，解得p=2.∴抛物线的标准方程为y2=4x.同理可知，抛物线的标准方程还可以是y2=-4x，x2=4y，x2=-4y.9．求抛物线y2＝2x上任意一点P到A(a,0)点的最短距离．解：设抛物线y2＝2x上任意一点P的坐标为(x0，y0)，则y＝2x0.PA＝＝＝，又x0≥0，当a－1≤0，即a≤1时，若x0＝0，PA取得最小值，最小值为|a|；当a－1>0，即a>1时，若x0＝a－1，PA取到最小值，最小值为.10．(江苏省高考名校联考信息优化卷)如上图，已知⊙Q过定点A(0，p)(p>0)，圆心Q在抛物线C：x2=2py上运动，MN为圆Q在x轴上所截得的弦．(1)当Q点运动时，MN的长度是否有变化？并证明你的结论；(2)当OA是OM与ON的等差中项时，试判断抛物线C的准线与圆Q的位置关系，并说明理由．解：(1)设Q(x0，y0)，则x2=2py0(y0≥0)，则⊙Q的半径QA=，⊙Q的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2，令y=0，并把x02=2py0代入得x2-2x0x+x02-p2=0，解得x1=x0-p，x2=x0+p，∴MN=|x1-x2|=2p，∴MN不变化，为定值2p.(2)不妨设M(x0-p,0)，N(x0+p,0)，由题意知2OA=OM+ON，得2p=|x0-p|+|x0+p|，∴-p≤x0≤p. Q到抛物线C的准线y=的距离d=y0+=，⊙Q的半径r=QA=，∴r2-d2=，又x02≤p2
0)，故r>d，即⊙Q与抛物线的准线总相交．1．动点P在抛物线y2＝－6x上运动，定点A(0,1)，线段PA中点的轨迹方程是________．解析：设PA中点E为(x，y)，P点为(x0，y0)，则：∴将x0，y0代入y2＝－6x，得：(2y－...
