8.8抛物线一、选择题1．若抛物线y2＝2px(p＞0)上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离是()A．6B．4C．2D．1答案：B2．已知抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程是()A．y2＝16xB．x2＝－8yC．y2＝16x，或x2＝－8yD．y2＝16x，或x2＝8y答案：C3．曲线y2＝4x关于直线x＝2对称的曲线方程是()A．y2＝8－4xB．y2＝4x－8C．y2＝16－4xD．y2＝4x－16答案：C4．已知AB是过抛物线x2＝y的焦点的弦，且|AB|＝4，则AB的中点到直线y＋1＝0的距离是()A.B．2C.D．3答案：C二、填空题5．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是________．解析：由y2＝8x知2p＝8，p＝4，设B点坐标为(xB，yB)，由AB直线过焦点F知8yB＝－16，则yB＝－2，∴xB＝.∴线段AB中点到准线的距离为＋2＝.答案：6．设P是曲线y2＝4(x－1)上的一个动点，则点P到点(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为________．解析：∵抛物线的顶点为A(1，0)，p＝2，∴准线方程为x＝0，焦点F坐标为(2,0)，∴点P到点B(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和等于|PB|＋|PF|.如图，|PB|＋|PF|≥|BF|，当B、P、F三点共线时取得最小值，此时|BF|＝＝.答案：7．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．能使抛物线方程为y2＝10x的条件是________．(要求填写合适条件的序号)解析：从抛物线方程易得②，分别按条件③④⑤计算出抛物线方程，从而确定⑤.答案：②⑤三、解答题8．求抛物线y2＝2x上任意一点P到A(a,0)点的最短距离．解答：设抛物线y2＝2x上任意一点P的坐标为(x0，y0)，则y＝2x0.|PA|＝＝＝，又x0≥0，当a－1≤0，即a≤1时，若x0＝0，|PA|取得最小值，最小值为|a|；当a－1>0，即a>1时，若x0＝a－1，|PA|取到最小值，最小值为.9．(原创题)如图，已知直线与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于D，且点D的坐标为(3，)．(1)求p的值；(2)若F为抛物线的焦点，M为抛物线上任一点，求|MD|＋|MF|的最小值．解答：(1)设A，B，kOD＝，则kAB＝－，直线AB的方程为y－＝－(x－3)，即x＋y－4＝0，将x＝代入上式整理得：y2＋2py－8p＝0，y1y2＝－8p，由OA⊥OB，＋y1y2＝0，即y1y2＋4p2＝0.－8p＋4p2＝0，又p＞0，则p＝2.(2)由抛物线定义知|MD|＋|MF|的最小值为D点到抛物线y2＝4x准线的距离，又准线方程为x＝－1，因此|MD|＋|MF|的最小值为4.10．在平面坐标系xOy中，抛物线y＝x2上异于坐标原点O的两个不同动点A、B满足AO⊥BO，(1)求△AOB的重心G的轨迹方程；(2)△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解答：(1)设直线OA，OB的方程分别为y＝kx，和y＝－x.由得x2－kx＝0，则x＝0，或x＝k.∴A(k，k2)，同理B(－，)．设G(x，y)，则x＝，y＝＝.消去k得y＝，即y＝.故△AOB的重心G的轨迹方程为y＝.1．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为()A．4B．8C．16D．32解析：∵抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2,0)，准线为x＝－2，∴K(－2,0)．如图，设A(x0，y0)，过A点向准线作垂线AB，则B(－2，y0)．∵|AK|＝|AF|，又AF＝AB＝x0－(－2)＝x0＋2，∴由BK2＝AK2－AB2得y＝(x0＋2)2，即8x0＝(x0＋2)2，解得A(2，±4)，∴△AFK的面积为|KF|·|y0|＝×4×4＝8，故选B.答案：B2．已知抛物线y2＝－x与直线l：y＝k(x＋1)相交于A、B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)当△AOB的面积等于时，求k的值．解答：(1)证明：由y2＝－x，y＝k(x＋1)得ky2＋y－k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则因此x1x2＋y1y2＝y·y·y1y2＝0，所以OA·OB＝0，OA⊥OB.(2)由|OA||OB|＝，|OA|2|OB|2＝40，(y＋y)(y＋y)＝40，化简得y＋y＝38，由(y1＋y2)2－2y1y2＝38，＝36，解得k＝±.
