8.10曲线与方程一、选择题1．方程|x|－1＝所表示的曲线是()A．一个圆B．两个圆C．半个圆D．两个半圆解析：|x|－1＝⇔⇔⇔⇔或则方程|x|－1＝所表示的曲线如图所示．答案：D2．如图所示，已知两点A(－2，0)、B(1,0)，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为坐标原点，则点P的轨迹方程是()A．(x＋2)2＋y2＝4(y≠0)B．(x＋1)2＋y2＝1(y≠0)C．(x－2)2＋y2＝4(y≠0)D．(x－1)2＋y2＝1(y≠0)解析：由∠APO＝∠BPO，设P点坐标为(x，y)，则|PA|∶|PB|＝|AO|∶|BO|＝2，即|PA|＝2|PB|，∴＝2整理得(x－2)2＋y2＝4，且y≠0.答案：C3．与圆x2＋y2－4x＝0外切，又与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程是()A．y2＝8xB．y2＝8x(x＞0)和y＝0C．y2＝8x(x＞0)D．y2＝8x(x＞0)和y＝0(x<0)解析：如图，设与y轴相切且与圆C：x2＋y2－4x＝0外切的圆心为P(x，y)，半径为r，则＝|x|＋2，若x＞0，则y2＝8x；若x<0，则y＝0.答案：D4．如图，设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.－＝1B.＋＝1C.－＝1D.＋＝1解析：M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝.椭圆的标准方程为＋＝1.答案：D二、填空题5．两条直线ax＋y＋1＝0和x－ay－1＝0(a≠±1)的交点的轨迹方程是________．解析：由①×y＋②×x得y2＋y＋x2－x＝0，即(x－)2＋(y＋)2＝且xy≠0.答案：(x－)2＋(y＋)2＝，且xy≠06．设F1、F2是双曲线x2－y2＝4的两焦点，Q是双曲线上任意一点，从F1引∠F1QF2平分线的垂线，垂足为P，则P点的轨迹方程是________．解析：如图，延长F1P交QF2于F1′点，连结PO.则在△F1F2F1′中，|PO|＝|F2F1′|＝(|QF1′|－|QF2|)＝(|QF1|－|QF2|)＝2，即|PO|＝2，∴P点的轨迹方程为x2＋y2＝4.答案：x2＋y2＝47．已知圆C：(x－3)2＋y2＝4，过原点的直线与圆C相交于A、B两点，则A、B两点中点M的轨迹方程是________．解析：如图，连接CM，则CM⊥AB，因此点M在以OC为直径的圆上，此圆的方程为2＋y2＝，将2＋y2＝与(x－3)2＋y2＝4.相减整理得x＝，因此M点的轨迹方程是2＋y2＝，且x＞.答案：2＋y2＝三、解答题8．已知点F(0，－)，P点在直线y＝－4上方，且P到点F和直线y＝－4的距离之和为.(1)求动点P的轨迹方程；(2)设动点P的轨迹是C，曲线C交y轴于点M，在曲线C上是否存在两点A、B，使∠AMB＝.解答：(1)解法一：如图，设P点坐标为(x，y)，过P作PQ垂直于直线y＝－4，垂足为Q；根据题意得|PF|＋|PQ|＝，即＋y＋4＝.整理得x2＝－y(y＞－4)．解法二：如图，由|PF|＋|PQ|＝可观察出|PF|与P点到直线y＝的距离相等，则P点在以F(0，－)为焦点，O(0,0)为顶点的抛物线x2＝－2py(p＞0)上，∴－＝－，即p＝，∴x2＝－y，又点P在y＝－4上方，则y＞－4.即所求点P的轨迹方程为x2＝－y(y＞－4)．(2)当y＝－1时，x＝±1，因此存在A(－1，－1)，B(1，－1)，使OA·OB＝0，即∠AMB＝.9．A、B分别是直线y＝x和y＝－x上的动点．O是坐标原点，且|OA|·|OB|＝a2＋b2(a，b为常数值，b≠0)．求线段AB的中点P的轨迹方程．解答：设P、A、B三点的坐标分别为(x，y)、(x1，y1)、(x2，y2)，则x＝，①y＝，②y1＝x1，③y2＝－x2，④又|OA||OB|＝|x1||x2|＝|x1x2|，且|OA||OB|＝a2＋b2，∴|x1x2|＝a2.⑤将③④代入②得y＝(x1－x2)，即y＝，⑥①2－⑥2得x2－y2＝x1x2，即x2－y2＝±a2.∴所求轨迹方程为－＝±1.10．(原创题)如图，已知定点F，定直线l：y＝－，过定直线l上任意一点M作l的垂线MP，线段MF的垂直平分线与直线MP相交于P点．(1)求P点的轨迹C的方程；(2)证明：PN与曲线C相切．解答：(1)由已知条件知|PF|＝|PM|，根据抛物线定义，P点在以F，准线为y＝－的抛物线上，因此点P的轨迹方程为x2＝2py.(2)证明：设M，则kFM＝－，N，kNP＝，则直线NP的方程为y＝，将上式代入x2＝2py，整理得：x2－2x0x＋x＝0，则Δ＝－(2x0)2－4x＝0，因此，直线PN与曲线x2＝2py相切．1．设A1、A2是椭圆＋＝1长轴的两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点M的轨迹方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.－＝1D.－＝1解析：如...
