3.3三角函数的图象和性质一、选择题1．已知函数y＝tanωx在(－，)内是减函数，则()A．0＜ω≤1B．－1≤ω＜0C．ω≥1D．ω≤－1解析：根据已知条件：ω<0，且|ω|≤1，因此－1≤ω＜0.答案：B2．已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－，]上的最小值是－2，则ω的最小值等于()A.B.C．2D．3解析：∵ω>0，－≤x≤，∴－≤ωx≤，由已知条件－≤－，∴ω≥.答案：B3．函数y＝sin2x的图象，向右平移φ(φ＞0)个单位，得到的图象恰好关于x＝对称，则φ的最小值为()A.πB.πC.πD．以上都不对解析：y＝sin2x的图象向右平移φ个单位得到y＝sin2(x－φ)的图象，又关于x＝对称，则2(－φ)＝kπ＋(k∈Z),2φ＝－kπ－，取k＝－1，得φ＝π.答案：A4．函数f(x)＝sinx－cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是()A．[－π，－]B．[－，－]C．[－，0]D．[－，0]解析：f(x)＝sinx－cosx＝2sin(x－)∵－π≤x≤0，∴－≤x－≤－，当－≤x－≤－时，即－≤x≤0时，f(x)递增．答案：D二、填空题5．函数y＝sinx＋cosx在区间[0，]上的最小值为______________．解析：本题考查三角函数的最值．则y＝sinx＋cosx＝2(sinx＋cosx)＝2sin(x＋)，由x∈[0，]，∴≤x＋≤，∴y≥2sin＝1，∴y的最小值为1.答案：16.函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．解析：f(x)＝sinx＋2|sinx|＝在同一坐标系中，作出函数f(x)与y＝k的图象可知1＜k＜3.答案：(1,3)7．函数f(x)＝3sin(2x－)的图象为C，①图象C关于直线x＝对称；②函数f(x)在区间(－，)内是增函数；③由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.以上三个论断中，正确论断的个数是________．解析：其中①②两个论断正确．答案：2三、解答题8．设函数f(x)＝a·(b＋c)，其中向量a＝(sinx，－cosx)，b＝(sinx，－3cosx)，c＝(－cosx，sinx)，x∈R.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)将函数y＝f(x)的图象按向量d平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d.解答：∵a＝(sinx，－cosx)，b＝(sinx，－3cosx)，c＝(－cosx，sinx)，f(x)＝a·(b＋c)＝(sinx，－cosx)·(sinx－cosx，sinx－3cosx)＝sin2x－sinxcosx－sinxcosx＋3cos2x＝－sin2x＋(1＋cos2x)＝cos2x－sin2x＋2＝cos(2x＋)＋2.(1)函数f(x)的最大值为2＋，最小正周期为π.(2)d＝(－，－2)．将y＝f(x)的图象按向量d平移得的图象对应的函数解析式为y＝－sin2x.9．已知函数f(x)＝Asin2(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)，且y＝f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2)．(1)求φ；(2)计算f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)．解答：(1)由已知A＝2，＝2，∴ω＝，又f(1)＝2，即2sin2(＋φ)＝2，∴sin2(＋φ)＝1，∴φ＝.(2)由(1)知f(x)＝2sin2(x＋)＝1－cos(x＋)＝1＋sin(x)．∴f(1)＝2，f(2)＝1，f(3)＝0，f(4)＝1，……又f(x)的周期为4，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)＝2008.10．如下图，函数y＝2sin(πx＋φ)，x∈R(其中0≤φ≤)的图象与y轴交于点(0,1)．(1)求φ的值；(2)设P是图象上的最高点,M、N是图象与x轴的交点，求与的夹角的余弦值.解答：(1)由已知：2sinφ＝1，即sinφ＝，又0≤φ≤，∴φ＝，因此y＝2sin(πx＋)．(2)令2sin(πx＋)＝0，则πx＋＝kπ，k∈Z，即x＝k－，k∈Z.当k＝1时，x＝，则N(，0)；当k＝0时，x＝－，则M(－，0)．又P(，2)，－*8]＝(－，－2)，PN＝(－，－2)，PN＝(，－2)．1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(＋)(x∈[0,2π])的图象和直线y＝的交点个数是()A．0B．1C．2D．4解析：本小题主要考查三角函数图象的性质问题．原函数可化为：y＝cos(＋)(x∈[0,2π])＝sin，x∈[0,2π]．作出原函数图象，截取x∈[0,2π]部分，其与直线y＝的交点个数是2个．答案：C2．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间；(3)证明直线5x－2y＋c＝0与函数y＝f(x)的图象不相切．解答：(1)令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，k∈Z，又－π<φ<0，则－
