5.3数列求和一、选择题1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为()A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n－2解析：Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.答案：C2．数列9,99,999,9999，…的前n项和等于()A．10n－1B.(10n－1)－nC.(10n－1)D.(10n－1)＋n解析：an＝10n－1，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n－1)＝(10＋102＋…＋10n)－n＝－n.答案：B3．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数为()A．11B．99C．120D．121解析： an＝＝－，∴Sn＝a1＋a2…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.令－1＝10，得n＝120.答案：C4．数列1，，，…，的前n项和Sn等于()A.B.C.D.解析：an＝＝2(－)，所以Sn＝2(1－＋－＋…＋－＋－)＝2(1－)＝.答案：B二、填空题5．对于实数x，用[x]表示不超过x的最大整数，如[0.32]＝0，[5.68]＝5.若n为正整数，an＝[]，Sn为数列{an}的前n项和，则S4n＝________.解析：本题考查数列求和以及分析、等价转化能力．题目背景是取整函数，解题关键是了解题设背景，迅速进入问题情境，善于将问题等价转化．因为an＝[]，所以，a4n＝a4n＋1＝a4n＋2＝a4n＋3＝n，S4n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n，＝(a4＋a5＋a6＋a7)＋…＋(a4n－4＋a4n－3＋a4n－2＋a4n－1)＋a4n＝4(1＋2＋…＋n－1)＋n＝2n2－n.答案：2n2－n6．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝________.解析：当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，又 a1＝1适合上式．∴an＝2n－1，∴a＝4n－1.∴数列{a}是以a＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．答案：(4n－1)7．设数列{an}的通项为an＝2n－7(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.解析：|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＋…＋23＝153.答案：153三、解答题8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝5，S8＝64，求Sn，并求数列{a2n}的前n项和Tn.解答：由已知，解得a1＝1，d＝2，∴Sn＝na1＋d＝n2.由an＝2n－1，a2n＝2n＋1－1，因此Tn＝(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n＋1－1)＝2n＋2－n－4.9．设首项分别为1,2,3，…，p，公差依次为1,3,5，…，2p－1的p组等差数列，各组自首项到第n项的和依次为S1，S2，S3，…，Sp.试求：S1＋S2＋S3＋…＋Sp的值．解答：S1＝n＋·1，S2＝2n＋·3，S3＝3n＋·5，…Sp＝pn＋(2p－1)．所以S1＋S2＋S3＋…＋Sp＝n(1＋2＋…＋p)＋[1＋3＋5＋…＋(2p－1)]＝p(p＋1)＋(n－1)p2＝np(np＋1)．10．已知{an}是等比数列，a1＝2，a3＝18；{bn}是等差数列，b1＝2，b1＋b2＋b3＋b4＝a1＋a2＋a3＞20.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Sn的公式；(3)设Pn＝b1＋b4＋b7＋…＋b3n－2，Qn＝b10＋b12＋b14＋…＋b2n＋8，其中n＝1,2，…，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论．解答：(1)设{an}的公比为q，由a3＝a1q2得q2＝＝9，q＝±3.当q＝－3时，a1＋a2＋a3＝2－6＋18＝14＜20，这与a1＋a2＋a3＞20矛盾，故舍去；当q＝3时，a1＋a2＋a3＝2＋6＋18＝26＞20，故符合题意.4b1＋d＝26，又b1＝2，解得d＝3，所以bn＝3n－1.(2)Sn＝＝n2＋n.(3)b1，b4，b7，…，b3n－2组成以3d为公差的等差数列，所以Pn＝nb1＋·3d＝n2－n；b10，b12，b14，…，b2n＋8组成以2d为公差的等差数列，b10＝29，所以Qn＝nb10＋·2d＝3n2＋26n，Pn－Qn＝(n2－n)－(3n2＋26n)＝n(n－19)，所以，对于正整数n，当n≥20时，Pn＞Qn；当n＝19时，Pn＝Qn；当n≤18时，Pn＜Qn.1．观察下列等式：＝n2＋n，2＝n3＋n2＋n，3＝n4＋n3＋n2，4＝n5＋n4＋n3－n，5＝n6＋n5＋n4－n2，6＝n7＋n6＋n5－n3＋n，……k＝ak＋1nk＋1＋aknk＋ak－1nk－1＋ak－2nk－2＋…＋a1n＋a0，可以推测，当k≥2(k∈N*)时，ak＋1＝，ak＝，ak－1＝________，ak－2＝________.解析：由观察可知，当k≥2时，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，所以ak－1＝，第四项均为零，所以ak－2＝0.答案：02．若公比为c的等比数列{an}的首项a1＝1且满足an＝(n＝3,4，…)．(1)求c的值；(2)求数列{nan}的前n项和Sn.解答：(1)由题设，当n≥3时，an＝c2an－...
