6.4基本不等式一、选择题1．若实数a、b满足0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是()A.B．a2＋b2C．2abD．a解析：∵a＋b＝1，a＋b＞2，∴2ab＜.由a2＋b2＞2·2＝2·＝，又0＜a＜b，且a＋b＝1，∴a＜，∴a2＋b2最大．答案：B2．(·重庆)已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是()A．2B．2C．4D．5解析：＋＋2≥2＋2≥4＝4当，即a＝b＝1时，等号成立，因此＋＋2的最小值为4.答案：C3．设a、b∈(0，＋∞)，若a＋b＝2，则＋的最小值等于()A．1B．3C．2D．4解析：因为(a＋b)≥2·2，即(a＋b)·≥4，其中a＋b＝2，所以＋≥2.当＝，且a＝b即a＝b＝1时，＋取得最小值2.答案：C4．(·天津)设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为()A．2B.C．1D.解析：由ax＝by＝3得：x＝loga3，y＝logb3，由a＞1，b＞1知x＞0，y＞0，＋＝log3a＋log3b＝log3ab≤log32＝1，当且仅当a＝b＝时“＝”号成立，则＋的最大值为1.答案：C二、填空题5．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．解析：∵a－b＞0，b－c＞0，∴≤＝，当且仅当a－b＝b－c即2b＝a＋c时，取“＝”．∴≤.答案：≤6．(·潍坊质检)设a＞b＞c，且＋≥恒成立，则m的取值范围是________．解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.又(a－c)＝[(a－b)＋(b－c)]×≥2·2＝4.当且仅当a－b＝b－c且＝，即a＋c＝2b时，等号成立．∴m≤4.答案：m≤47．已知a＞0，b＞0，且2b＋ab＋a＝30，则ab的最大值为________．解析：∵a＞0，b＞0，∴2b＋a≥2，又2b＋ab＋a＝30，∴2＋ab≤30，即ab＋2－30≤0，解得≤3，即ab≤18，当且仅当2b＝a，即a＝6，b＝3时等号成立，则ab的最大值为18.答案：18三、解答题8．设x∈R＋且x2＋＝1，求x的最大值．解答：∵x>0，∴x2＋(＋)＝(x2＋)＋＝而x＝·≤∴x≤(·)＝即(x)max＝.9．已知x>0，y>0，x＋y＝1，求证：x4＋y4≥.证明：∵x>0，y>0，x＋y＝1，∴x2＋y2≥2xy，两边同加上x2＋y2得，2(x2＋y2)≥(x＋y)2＝1.又x4＋y4≥2x2y2，两边同加上x4＋y4得，2(x4＋y4)≥(x2＋y2)2≥，∴x4＋y4≥.10．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：(－1)(－1)(－1)＞8.证明：(－1)(－1)(－1)＝··＞8＝8.1．若0＜a1＜a2,0＜b1＜b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是()A．a1b1＋a2b2B．a1a2＋b1b2C．a1b2＋a2b1D.解析：(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(a1－a2)(b1－b2)＞0，则a1b1＋a2b2＞a1b2＋a2b1；a1a2＋b1b2≤2＋2＝，又a1＜a2，b1＜b2，则a1a2＋b1b2＜；(a1＋a2)(b1＋b2)＝a1b1＋a1b2＋a2b1＋a2b2＜2(a1b1＋a2b2)即2(a1b1＋a2b2)＞1，∴a1b1＋a2b2＞.答案：A2．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，S是其面积．求证：a2＋b2＋c2≥4·S.证明：根据余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，S＝bcsinA，于是有a2＋b2＋c2－4S＝2(b2＋c2)－2bccosA－4·bcsinA＝2(b2＋c2)－2bc(cosA＋sinA)＝2(b2＋c2)－4bcsin(A＋30°)≥2(b2＋c2)－4bc＝2(b－c)2≥0，∴a2＋b2＋c2≥4S.
