直线和圆锥曲线常考题型运用的知识1、两条直线l:y二kx+b,l:y二kx+b垂直：则kk=—1；两条直线垂直，则直线所在的向量vv二011122212122、韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c二0(a主0)有两个不同的根X1，x2bc贝yx+x=_一,xx=—12a12ax+xy+y3、中点坐标公式：x=亍,y=十，其中x，y是点A"人)，B%打的中点坐标。4、弦长公式：若点A(x,y),B(x,y)在直线y=kx+b(k主0)上,1122则廿kx1+b，y2二kx2+b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一,IABI千■(x—x)2+(y—y)2(x-x)2+(kx-kx)2+(1+k2)(x-x)2=(1+k2)[(+—4=]121212121n丄厶丄厶或者伸讦丙］空_1吵弋皆补£叮护P1+削儿+y2)2_4y1y2］。题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系x2y2例题1、已知直线l:y=kx+1与椭圆C:+=1始终有交点，求m的取值范围4m解：1b>0)的离心率为弓，且在x轴上的顶点分别为和-2‘0)叽(2'0)。(I)求椭圆的方程；(II)若直线l:X=t(t>2)与X轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA],PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论解：(I)由已知椭圆C的离心率e==，a—2，则得c=b—1。a2x2从而椭圆的方程为才+y2-1(H)设M(X1，yi)，N(x2,y2)，直线AM的斜率为k，则直线AM的方程为y—k(X+2)，由1111y—k(X+2)1x2+4y2—4消y整理得(1+4k2)x2+16kx+16k2-4—0-2和x1是方程的两个根,4k则x-4，y-—11+4k211+4k22-8k2Iy1+4k2i线段的垂直平分线方程为：y--k=-1(x-122k2)2kk2k2令炖得xo=圭-2，则E喘-2,0)AABE为正三角形，:•:E(~^—2,0)到直线AB的距离d为£|AB|。2k222d2即点M的坐标为2-8k2i-1+4k2/8k2-2-4k、同理，设直线AN的斜率为k,则得点N的坐标为匚2打)1+4k21+4k222y=k(t+2),y=k(t—2)p1p2k—k2=—,k+kt12y—yy—y:直线MN的方程为：i=2i,x—xx—x121xy—xy一4令y=0,得x=—1缶，将点M、N的坐标代入，化简后得：x=y—yt124又t>2，.0<<2t-椭圆的焦点为&3,0)故当t=齐时，MN过椭圆的焦点。题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A、B、C是椭圆E：—+二=1(a>b>0)上的三点，其中点A(2^3,0)是椭圆的右顶点,a2b2直线BC过椭圆的中心O,且ACBC=0，|BC|=2|AC］，如图。⑴求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、d•使得直线PC与直线QC关于直线x=卫对称，求直线PQ的斜率。解：⑴BC=2AC,且BC过椭圆的中心OOCAC兀ACBC=0ZACO=—2a二2斗'3，则椭圆方程x2y2+二1又A(2o3,0)点C的坐标为(\3€3)。-■A.(2朽,0)是椭圆的右顶点，将点C(、3、：3)代入方程，得b2=4,x2y2.椭圆E的方程为12+~(II)；直线PC与直线QC关于直线X=、込对称，.设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，从而直线PC的方程为:y-\.：'3=k(x-p'3)，即y=kx+帯'3(1-k)，由Iy=k+<3(1—幻消丫，整理得：(1+3k2)X2+^.3k(1-k)X+9k2-18k-3二0Ix2+3y2-12=0x=、;3是方程的一个根,9k2-18k-39k2-18k-3:::xv3=即x=P1+3k2P<3(1+3k2)同理可得：9k2+18k-3<3(1+3k2)=kx+訂(1-k)+kx-負1+k)=k(x+x)-2j3k=-—PQPQ.3(1+3k2)9k2-18k-39k2+18k-3-36kx—x=—PQ3(1+3k2)<3(1+3k2)3(1+3k2)y-y11:k=—Q=则直线PQ的斜率为定值汗。pQx-x33PQ题型五：面积问题例题5、已知椭圆C：—+啟=1(a>b>0)的离心率为聋，短轴一个端点到右焦点的距离为訂。a2b23(I)求椭圆C的方程;?3-6km•x+x-123k2+13(m2一1)xx—(II)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点0到直线l的距离为亍，求AAOB面积的最大值。cV6解：(I)设椭圆的半焦距为C,依题意］a3•••b-1,所求椭圆方程为亍+y2-...
