高三数学一轮复习第11单元 11.3 直接证明、间接证明与数学归纳法随堂训练理新人教A版VIP免费

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11.3直接证明、间接证明与数学归纳法一、选择题1“．用反证法证明命题如果a>b，那么>”时，假设的内容应是()A.＝B.≤不成立，即成立．答案：D2．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0≥，其中能使＋2成立的条件有()A．1个B．2个C．3个D．4个≥解析：要使＋2，只要>0且>0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．答案：C3．设S是至少含有两个元素的集合．在S“上定义了一个二元运算*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是()A．(a*b)*a＝aB．[a*(b*a)]*(a*b)＝aC．b*(b*b)＝bD．(a*b)*[b*(a*b)]＝b解析：此题只有一个已知条件：a*(b*a)＝b.B中a*(b*a)＝b原式变为b*(a*b)＝a，成立，C中相当于已知条件中a替换为b，明显成立，D中，b*(a*b)＝a，原式变为(a*b)*a＝b成立．答案：A4．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是()A．|a－b|≤|a－c|＋|b－c|B．a2≥＋a＋C．|a－b|≥＋2D.－＜－解析：A：|a－b|＝|(a－c)＋(c－b)|≤|a－c|＋|c－b|一定成立．B：a2＋＝2－2，a2≥＋a＋⇔2≥＋2⇔2－－2≥0⇔a≥＋2或a≤＋－1.而a≥＋2或a≤＋－2.∴上式恒成立．C：|a－b|≥0，而a－b∈R，∴不能使用均值不等式．D：显然成立．答案：C二、填空题5．已知函数f(x)＝ax＋2a＋1，当x∈[－1,1]时，f(x)有正值也有负值，则实数a的取值范围为________．解析：由题意得f(x)＝ax＋2a＋1为斜率不为0的直线，由单调性知f(1)·f(－1)<0，∴(a＋2a＋1)·(2a－a＋1)<0.∴－11时，f(x)<0.那么具有这种性质的函数f(x)＝________.(注：填上你认为正确的一个函数即可)解析：令m＝n＝0，由f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－6得f(0)＝6，设f(x)＝ax＋6， f(－1)＝－a＋6≥5.∴a≤1.又知当x>1时，f(x)<0，∴a<0且f(1)＝a＋6≤0.∴a≤－6(a∈Z)．∴a＝－6，－7，－8…都符合要求．答案：－7x＋67．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(n∈N)行，在这些数中非1的数字之和是________________．111121133114641……解析：所有数字之和Sn＝20＋2＋22…＋＋2n－1＝2n－1，除掉1的和2n－1－(2n－1)＝2n－2n.答案：2n－2n三、解答题8．试证：当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．证明：证法一：(1)当n＝1时，f(1)＝64，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．当n＝k＋1时，由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，∴n＝k＋1时命题也成立．根据(1)、(2)可知，对于任意n∈N*，命题都成立．证法二：(1)当n＝1时f(1)＝64命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．由归纳假设，设32k＋2－8k－9＝64m(m为大于1的自然数)，将32k＋2＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中得f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，∴n＝k＋1时命题也成立．根据(1)(2)知，对于任意n∈N*，命题都成立．9．如右图所示，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点，求证：平面PAC⊥平面BDE.证明： PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD.又 O是正方形的中心，∴BD⊥AC. PO∩AC＝0，∴BD⊥平面PAC，又BD⊂平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE.10．已知数列{an}的前n项的和Sn满足Sn＝2an－3n(n∈N*)．(1)求证{an＋3}为等比数列，并求{an}的通项公式；(2)数列{an}是否存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．证明：(1) Sn＝2an－3n(n∈N*)，∴a1＝S1＝2a1－3，∴a1＝3.又由得an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，∴{an＋3}是首项为a1＋3＝6，公比为2的等比数列．∴an＋3＝6×2n－1，即an＝3(2n－1)．(2)解答：假设数列{an}中存在三项ar，as，at(r

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