选修4－4坐标系与参数方程第1课时坐标系与曲线的极坐标方程一、填空题1．直角坐标方程x2＋y2－8y＝0的极坐标方程为________．解析：∵x2＋y2＝ρ2，y＝ρsinθ，∴原方程可化为ρ2－8ρsinθ＝0，∴ρ＝0或ρ＝8sinθ.经检验，得所求的极坐标方程为ρ＝8sinθ.答案：ρ＝8sinθ2．极坐标方程ρ＝6cos(θ－)的直角坐标方程为________．解析：原方程可化为ρ＝6cosθcos＋6sinθsin，方程两边同乘以ρ，得ρ2＝3ρcosθ＋3ρsinθ，由ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y故所求的直角坐标方程为x2＋y2－3x－3y＝0.答案：x2＋y2－3x－3y＝03．点P(2，)到直线l：3ρcosθ－4ρsinθ＝3的距离为________．解析：转化为直角坐标系，则P(0，－2)，直线l的方程3x－4y－3＝0.故点P到直线l的距离d＝＝1.答案：14．在极坐标系中，过点(1,0)，且倾斜角为的直线的极坐标方程为________．解析：由题意知直线的普通方程为y＝(x－1)，∵y＝ρsinθ，x＝ρcosθ，∴ρsinθ＝(ρcosθ－1)，整理得ρ＝ρsin＝，化简得ρsin＝.答案：ρsin＝5.已知⊙C：ρ＝2cosθ，直线l：ρcosθ－ρsinθ＝4，则过点C且与直线l垂直的直线的极坐标方程为________________．解析：⊙C的直角坐标方程是x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1.直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0.圆心C(1,0)，所以过C与l垂直的直线方程为x＋y－1＝0.化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ－1＝0，即ρcos＝.答案：ρcos＝6．在极坐标系中，以为圆心，为半径的圆的极坐标方程为________．解析：圆的极坐标方程为2－2×ρcos＋2－2＝0，即ρ＝asinθ.答案：ρ＝asinθ7．已知⊙C与直线l的极坐标方程分别为ρ＝6cosθ和ρsin＝，则点C到直线l的距离为________．解析：原方程可化为ρ2＝6ρcosθ，ρsinθ＋ρcosθ＝2，∵ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，ρcosθ＝x，∴⊙C的直角坐标方程是(x－3)2＋y2＝9，直线l的直角坐标方程是x＋y－2＝0，∴由点到直线的距离公式得d＝＝.答案：二、解答题8．(南通调研)在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C，半径R＝，求圆C的极坐标方程．解：解法一：设P(ρ，θ)是圆C上的任意一点，则PC＝R＝.由余弦定理，得ρ2＋22－2×2×ρcos＝5.化简，得ρ2－4ρcos－1＝0，此即为所求圆C的极坐标方程．解法二：将圆心C，化成直角坐标为(1，)，半径R＝，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝5.再将圆C化成极坐标方程，得(ρcosθ－1)2＋(ρsinθ－)2＝5.化简得ρ2－4ρcos－1＝0，此即为所求圆C的极坐标方程．9．(盐城调研)在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝2的距离为d，求d的最大值．解：将极坐标方程ρ＝3转化为普通方程为x2＋y2＝9.ρ(cosθ＋sinθ)＝2可化为x＋y＝2.在x2＋y2＝9上任取一点A(3cosα，3sinα)，则点A到直线的距离为d＝＝，当sin(α＋30°)＝－1时，d取得最大值为4.10.(苏州市高三教学调研)已知直线ρcos＝1和圆ρ＝cos，判断直线和圆的位置关系．解：由，得coscos＝1.即cos2θ－sin2θ＝.∴cos2θ＝.此等式不成立，即原方程组无解．∴直线与圆相离．1．(南京市高三期末调研)求过圆ρ＝2sin的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程．解：圆ρ＝2sin的极坐标方程可化为ρ＝sinθ－cosθ.所以ρ2＝ρsinθ－ρcosθ，化为直角坐标方程得x2＋y2＝y－x.即2＋2＝1.所以圆心的直角坐标为.过且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x＝－.故化为极坐标方程为ρcosθ＝－.2．设点M，N分别是曲线ρ＋2sinθ＝0和ρsin＝上的动点，求点M，N间的最小距离．解：方程ρ＋2sinθ＝0化为直角坐标方程得x2＋(y＋1)2＝1，方程ρsin＝化为直角坐标方程得x＋y－1＝0，如图所示，设圆x2＋(y＋1)2＝1的圆心为A，则当AN垂直于直线x＋y－1＝0时，AN最小，AN与圆A交于点M，则MN最小．因为A(0，－1)，所以MNmin＝A到直线的距离—半径＝－1＝－1，故点M，N间的最小距离是－1.
