活动案例二：当问题开放后背景介绍在《利用不等关系分析比赛》一节中，教材中的问题已经给出了探究的主要步骤，对思考过程作了一些提示，有利于学生更快地解决问题。而若在背景中直接提出问题，则问题就有了一定的开放性，给学生以创新的空间，使学生更能体会课题学习的味道，有利于课后自己从其他背景中提出问题并尝试解决。教学中，我们进行了一些尝试，主要目的是想看看在将问题开放后会有怎样的情况产生以及如何把握。情境描述改造后的问题2：“有A、B、C、D、E五个队分同一小组进行单循环赛足球比赛，争夺出线权。比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线，小组赛结束后，A队的积分为9分。你认为A队能出线吗？请说明理由。”教学片断：问题一出，学生先是沉默了一会，随后有学生小声地问：“什么是单循环比赛？”师问：哪位同学知道？生1：就是每个队都要与其他队比一场，一共有20场比赛。生2：不对，A对B与B对A是同一场比赛，一共要进行10场比赛。生3：A队是9分，我觉得A队能否出线关键要看有几个队的分数比A队高。师问：你认为可能有几个队的分数比A队高?生3：……生4：我认为如果有一个队全胜的话，那么这个队应该有12分，下面可能还有11分，10分，所以A队可能是第4名，这样的话就不能出线。生5：也有可能10分不只一个，这种并列的情况是经常有的。生6：11分是不会有的，因为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，每个队都进行4场比赛，全胜是12分，比全胜差一点的是3胜一平得10分，不会有11分的队。师：五个队中，有可能一个队得12分，一个队得10分，一个队得9分吗？（此时学生纷纷议论开来，有的在纸上画图辅助思考。师巡视，发现有些学生在思考一些具体的比赛可能，而有些学生则尝试宏观把握，教师对碰到困难的学生略做提示）生7：这种情况是不会发生的，因为每场比赛后，胜的得3分，负的得0分，两队的得分和为3分；如果平局的话，得分和只有两分。所以10场比赛后最多的总得分只有30分。如果一个队得12分，一个队得10分，一个队得9分，那三个队的得分就超过30分了。（学生鼓掌）师：你的分析非常好，那么10场比赛后的总积分不会少于多少分？生8：起码20分，此时全是平局。师：现在我们回到开始的问题，如果A队积9分，A队的战绩是几胜几平几负？众答：A队的战绩是3胜0平一负。师：A队能出线吗？生9：能。因为不可能同时一个队得12分，一个队得10分，一个队得9分，现在已知A队是9分了，所以不管另一队是12分，还是10分，A队一定能出线。师：大家同意该同学的意见吗？（此时，有学生说同意，也有学生说不同意。师请一位持反对意见的同学说明理由）生10：如果有一个队是12分的，因为总分不超过30分，所以不会有第2个队超过9分，所以在那种情况下A队一定能出线。师（打断学生10的发言追问）：如果还有一个队也是9分的呢？生10：如果还有一个队也是9分，那其余三个队都是0分，这三个队之间的比赛总是有输赢的，所以0分最多只有一个队，这与12分也最多只有一个队是一样的。师：说得好，请继续。生10：刚才的××同学认为，现在已知A队是9分了，不管另一队是12分，还是10分，A队一定能出线。如果另一个队是10分，可能还有另一个队也是10分，这样A队就不能出线了。生11：我反对，如果还有一个队也积10分，这样三个队就共积29分了。剩下的两个队总不能只得1分吧？生12：剩下的一个1分，一个0分不就行了。生13：如果这样，那么总分达到30分，但这是在没有平局全部分出胜负的情况下达到的，怎么能有一队得1分？生14（很激动地站起来）：对。其实A队积9分时，A队的战绩是三胜一负，此时总分就不会达到30分了！（到此，学生的兴奋到达高潮，都有一种愉悦的成功感）师：那么有没有积分最高就是9分的情况呢？生15：当然有可能，此时A队就出线。（此时，老师没有评论，只是笑了一笑。学生激奋的情绪似乎略微平静下来）生16：我觉得这个问题也有多种可能，因为如果积分最高的队积9分，那么积9分的队可能有3个或2个或1个。如果积分9分的队是一个或两个时，A队肯定出线，如果有3个，那不知道了。师：如果有3个队都积9分，那么谁出线呢？生17：...
