1/11开题报告数学与应用数学修正混合Halpern迭代序列的强收敛性一、综述本课题的研究动态,说明选题的依据和意义非线性算子方程属于非线性泛函分析的范畴,是泛函分析的理论和应用的一个重要组成部分,它的理论和方法不仅是线性最优化的一个重要部分,而且在微分方程,积分方程,力学,控制论,对策论,经济平衡理论,交通运输,社会和经济模型等许多方面都有着重要的应用.因此,研究非线性算子方程解的存在性及迭代算法理论不仅具有重要的理论意义,而且也具有重要的应用价值.而非线性算子方程的解往往可以转化为某个非线性算子的不动点问题.自20世纪初著名的Banach压缩映像原理[1]和Brouwer不动点定理[2]问世以来,特别是最近二三十年来,由于实际需要的推动和数学工作者的不断努力,这门学科的理论及应用的研究已取得重要的进展,并且日趋完善.非线性算子的不动点理论在建立各类方程解的存在唯一性问题中起着重要的作用.1895-1900年间,法国数学家H.Poincare在代数拓扑学中使用了不动点概念.1910年,L.E.J.Brouwer2证明了有限维空间中多面体上的连续映射至少有一个不动点.1922年,G.D.Birkhoff.Kellogg作出了一些改进和应用,而波兰数学家Banach[1]更一般地处理了这个问题,并提出了著名的Banach压缩映像原理.非扩张映像是压缩映像的一种推广,在求解方程的不动点的问题上起到很重要的作用,它在近代数学许多分支都有应用,特别是在非线性半群,遍历定理和单调算子理论方面有着重要的应用.随着非扩张映像不动点理论的发展,学者们得出了关于非扩张映像的一系列结论.其中非线性映像的不动点的寻求是学者们一直所关心的问题,而对于一些具体的非线性算子方程不动点的求解是十分困难的.因此,数学家们通过构造迭代序列去逼近不动点来求解这些方程,其中Picard给出了最早的迭代序列,其具体格式为2/11x0C,xn1Txn,n0.但是Banach压缩原理证明中所用的Picard迭代方法对于非扩张映像却未必是收敛的,之后Mann3受到Banach压缩映像原理的启发,在1953年提出了如下的迭代序列称之为Mann迭代序列.1976年,Ishikawa4x0C,xn11tnxntnTx3/11n,n0.推广了Mann迭代格式,得到了如下的Ishikawa迭代序列x0C,xn11tnxntnTyn,n0,yn1snxnsnTxn,n0.4/11相比于Mann迭代序列,Ishikawa迭代序列更为一般化且包含了Mann迭代序列(当上述的sn取为零时,Ishikawa迭代序列就转化成了Mann迭代序列).在一般情况下,无论是Mann迭代序列还是Ishikawa迭代序列对非扩张映像和渐近非扩张映像只有弱收敛.Mann迭代序列对于非扩张映像即使在Hilbert空间框架下也没有强收敛定理,但是用Halpern扩张映像不动点是一个有效的算法,可以得到强收敛定理.1967年,Halpern首次引进了如下迭代格式(1.1)Halpern指出如果迭代序列(1.1)收敛于T中的不动点.则{n}满足以下两个条件5迭代序列逼近非x0C,xn1nu1nTxn.lim5/11nn0,n1n.6同时,关于迭代参数限制的放宽和算法的改进研究一直是该领域的重要课题.秦下龙等人引入复合Halpern迭代程序得到了非扩张映像的强收敛定理不仅具有重要的理论意义,而且也具有重要的应用价值.其中复合Halpern迭代格式如下znnxn1nTxn,ynnxn16/11nTzn,xu1y.nnnn1(1.2)其中,u是C中任一给定的一个点,n,n和n是[0,1]中的实序列.在参数n,n0,7/11n1,那么我们就得到通常的Halpern迭代格式(1.1).当n1,则(1.2)迭代格式变成了两步Halpern迭代序列.2000年,Moudafi7引入粘滞迭代方法逼近给定非扩张映像的不动点,不仅利用这种方法研究非线性算子方程的不动点,而且用来研究变分不等式解的问题.具体的迭代格式如下x0C,xn1nfxn1nTxn,n0.其中E是一致光滑的Banach空间,C是E的闭凸子集,映像T:CC是具有非空不动点集的非扩张映像,fC是一收缩.2004年,Xu8/11敛定理.2010年,杨柳,王元恒提出了在一致光滑Banach空间中提出了非扩张映像的粘滞迭代序列8n0,1.改进了Moudafi的结果,在一致光滑的Banach空间中给出了粘滞迭代的强收znnxn1nTxn,n0ynnxn19/11nTzn,n0xf(x)1y.n0nnnnn1(1.3)证明了当n,n,n满足一定条件时,(1.3)中的序列xn强收敛到T的不动点.显然,在(1.3)中令10/11n1就变成了两步修正迭代序列,令fxnu就变成了三步复合Halpern迭代序列.本文将主要通过构造一致光滑的Banach空间中非扩张映...
