期末复习(一)直角三角形各个击破命题点1直角三角形的性质与判定【例1】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D.(1)如图1，若∠C＝30°，求证：BD＝14BC；(2)如图2，若∠C＝45°，写出点D到△ABC的三个顶点A，B，C的距离的关系；(3)在(2)的基础上，如果点M，N分别在线段AB，AC上移动，在移动过程中保持AN＝BM，请判断△DMN的形状，请证明你的结论．【思路点拨】(1)先由同角的余角相等可以得到∠BAD＝∠C＝30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可以在Rt△ABD和Rt△ABC中分别找出BD与AB，AB与BC的关系，从而得出BD与BC的数量关系；(2)根据∠C＝45°，∠BAC＝90°，可得△ABC是等腰直角三角形．又AD⊥BC，由等腰三角形三线合一的性质可知，D为直角三角形斜边的中点．再由直角三角形斜边中线的性质，即可求出AD，BD，DC之间的关系；(3)先由题目所给的条件证明△BDM≌△ADN，从而得到MD＝DN及∠BDM＝∠ADN，进而可得∠MDN＝∠ADB＝90°.【解答】(1)证明： ∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠B＋∠C＝90°，∠B＋∠BAD＝90°.∴∠BAD＝∠C＝30°.∴在Rt△ABD中，BD＝12AB，在Rt△ABC中，AB＝12BC.∴BD＝14BC.(2) ∠C＝45°，∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形． AD⊥BC，∴D为BC的中点．∴AD＝BD＝CD.(3)△DMN是等腰直角三角形．证明： BM＝AN，∠B＝∠DAN＝45°，BD＝AD，∴△BDM≌△ADN(SAS)．∴MD＝ND，∠BDM＝∠ADN.∴∠MDN＝∠ADB＝90°.∴△MDN是等腰直角三角形．【方法归纳】(1)由直角三角形斜边中线的性质可得到两条线段之间的数量关系；(2)由角来判断一个三角形是直角三角形，只要说明这个三角形中有一个直角或有两个角互余即可．1．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于(D)A．5B．6C．7D．82．一个三角形的三个角的度数之比是3∶3∶6，则这个三角形是等腰直角三角形．3．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E.如果DE＝1，求BC的长．解：连接AD. DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∠DEB＝90°. AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.在Rt△BDE中，∠B＝30°，∴DE＝12BD.∴BD＝2. AD＝BD，∴∠BAD＝∠B.∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝120°－30°＝90°.又 ∠C＝30°，∴AD＝12CD.∴CD＝2AD＝2BD＝4.∴BC＝CD＋BD＝4＋2＝6.命题点2勾股定理及其逆定理【例2】如图，四边形ABCD，AB＝AD＝2，BC＝3，CD＝1，∠A＝90°，求∠ADC的度数．【思路点拨】首先在Rt△BAD中，利用勾股定理求出BD的长，而由题意可知，△ABD为等腰直角三角形，则∠ADB＝45°，再根据勾股定理逆定理，证明△BCD是直角三角形，即可求出答案．【解答】连接BD.在Rt△BAD中， AB＝AD＝2，∴∠ADB＝45°，BD＝AD2＋AB2＝22.在△BCD中，DB2＋CD2＝(22)2＋12＝9＝CB2，∴△BCD是直角三角形．∴∠BDC＝90°.∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝45°＋90°＝135°.【方法归纳】当不能直接求一个角的度数时，可通过作辅助线，求几个角的和或差．4．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，3，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有(D)A．②B．①②C．①③D．②③5．如果三角形有一条边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形是“有趣三角形”，这条中线为“有趣中线”．如图，在△ABC中，∠C＝90°，较短的一条直角边BC＝3，且△ABC是“有趣三角形”，求△ABC的“有趣中线”的长．解：“有趣中线”有三种情况：①若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中线等于斜边长的一半，不合题意；②若“有趣中线”为BC边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立；③若“有趣中线”为另一直角边AC上的中线BD，如图所示，BC＝3，设BD＝2x，则CD＝x.在Rt△CBD中，根据勾股定理，得BD2＝BC2＋CD2，即(2x)2＝(3)2＋x2，解得x＝1.则△ABC的“有趣中线”的长等于2.命题点3直角三角形全等的判定【例3】如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝CB，求证：AD∥BC.【思路点拨】要证AD∥BC，可证∠ADB＝∠CBD，这由Rt△ADB≌Rt△CBD(HL)可以得到．【解答】 AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°.在Rt△ADB和Rt△CBD中...
