第3讲质数与合数知识网络1．质数与合数（1）一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它就叫做质数（也叫做素数）。（2）一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，还能被其他自然数整除，那么它就叫做合数。例如：4、6、8、10、12、14，⋯都是合数。在100以内有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个质数。2．质因数与分解质因数（1）如果一个质数是某个数的约数，那么就是说这个质数是这个数的质因数。（2）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如，把42分解质因数，即是42=2×3×7。其中2、3、7叫做42的质因数。又如，50=2×5×5，2、5都叫做50的质因数。重点·难点要注意以下几条：（1）1既不是质数，也不是合数。（2）关于质数1）质数有无限多个。2）最小的质数是2。3）在质数中只有2是偶数，其余的质数全是奇数。4）每个质数只有两个约数：1和它本身。（3）关于合数1）合数有无限多个。2）最小的合数是4。3）每个合数至少有三个约数：1、它本身、其他约数。例如，8的约数除1和8外，还有2、4，所以8是合数。学法指导（1）对比一下几种判别质数与合数的方法，可以看出例1方法的优越性。判别269，用2至268中所有的数试除，要除267个数；用2至268中的质数试除，要除41个数；而用本题的方法，只要除6个数。（2）将质数按照从小到大的顺序逐一去除一个数，来判断这个数是质数还是合数的方法，有弊病。如果一个数是质数，在我们试除的过程式中就永远找不到另一个质数是它的约数。那么，试除的数有什么范围呢？能不能使试除的数少一点呢？请同学们学习例1。（3）用例1的方法判断一个数是质数还是合数，有着它的优越性，它可以明确试除的质数范围，使试除的数的量进一步减少。[例1]判断269、437两个数是合数还是质数。思路剖析对于一个不太大的数N，要判断它是质数还是合数，可以先找出一个大于N且最接近N的平方数，再写出K以内的所有质数。如果这些质数都不能整除N，那么N是质数；如果这些质数中有一个能器N，那么N是合数。解答因为。17以内的质数有2、3、5、7、11、13。根据能被某些数整除的数的特征，个位数是9，所以269不能被2、5整除；2+6+9=17，所以269不能被3整除。经逐一判断或试除知，这6个质数都不能整除269，所以269是质数。因为437<=441。21以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19。容易判断437不能被2、3、5、7、11整除，用13、17、19试除437，得到437÷19=23，所以437是合数。[例2]判断数1111112111111是质数还是合数？思路剖析按照例1的方法判别这个13位数是质数还是合数，当然是很麻烦的事，能不能想出别的办法呢？根据合数的意义，如果一个数能够写成两个大于1的整数的乘积，那么这个数是合数。解答根据整数的意义，这个13位数可以写成：1111112111111=1111111000000+1111111=1111111×（1000000+1）=1111111×1000001由上式可知111111和1000001都能整除1111112111111所以1111112111111是合数。[例3]数a是质数，且a+10、a+14也都是质数，数a是多少？思路剖析任何自然数除以3的余数只有3种情况：余1、余2、余0（即能被3整除）。因为10除以3余1，14除以3余2。所以a不能是被3除余1的数，否则a+14能被3整除，就不是质数了。a也不能是被3除余2的数，否则a+10能被3整除，也不是质数。因此a只能是能被3整除的数，a本身又是质数，因此a只能是3。解答由上述分析可知数a只能是3。点津本题分析中有这样一条规律：如果两个数除以3的余数相加的和能被3整除，那么这两个数的和也能被3整除。[例4]三个质数的和是80，这三个质数的积最大是多少？思路剖析由于三个数的和是偶数，所以这三个数中必有一个是偶数，在质数中只有2是偶数，所以三个数中一定有2。另两个质数的和是78，要使乘积尽可能大，那么这两个质数的差值应尽可能小。显然，和是78的两个质数中，以41与37的差最小，即这两个数的积最大。解答三个质数的积是2×37×41=3034[例5]找出1~100这100个自然数中所有的质数。思路剖析要找出1~100这100个自然数中所有的质数，可以依次把这100个自然数的每一个数的约数...
