第4讲最大与最小知识网络人们经常考虑有关“最”的问题，如最大、最小、最多、最少、最快、最慢等。这类求最大值、最小值的问题是一类重要典型的问题，我们在实际生产和生活中经常遇到。在本书的学习中我们经常要用到以下几个重要结论：（1）两个数的和一定，那么当这两个数的差最小时，它们的积最大。（2）三个数a、b、c，如果a+b+c一定，只有当a=b=c时，a×b×c的积才能最大。（3）两个数的积一定，那么当两个数的差最小时，它们的和最小。（4）在所有周长相等的n边形中，以正n边形的面积最大。（5）在周长相等的封闭平面图形中，以圆的面积为最大。（6）在棱长的和一定的长方体中，以长、宽、高都相等的长方体，即正方体的体积最大。（7）在所有表面积一定的几何体中，球体体积最大。重点·难点本节所涉及的题型较多，但一般都要求根据一个不变量来确定另一变量的最大值或最小值。如何根据题意，灵活运用不同的方法来求出表达式，再求最值，或直接求最值是本讲的重点。这就要求我们不能太急于入手，不妨从一些比较简单的现象或数字开始，找出规律，进而解决问题。学法指导解决本节问题的方法和策略常常因题而异，归纳起来有以下几种常用的方法：（1）从极端情形入手。（2）枚举比较。（3）分析推理。（4）构造。[例1]不能写成两个不同的奇合数之和的最大偶数为多少？思路剖析两个最小的不同的奇合数为9和15，9+15=24，因此小于24的偶数都不能写成两个不同的奇合数之和。下面我们只需要考虑大于24的偶数即可。15后面的一个奇合数为21，9+21=30，所以比24大比30小的偶数也不能写成两个不同的奇合数之和。32也不能，34=9+25，36=9+27，38不能，40=15+25，42=15=27，44=9+35，⋯此时初步确定不能写成两个不同的奇合数之和的最大偶数为38。解答根据以上分析，我们初步确定所求的最大偶数为38，下面我们给予证明。比38大的个位为0的数（40，50，60，⋯），可以用下面形式的两个奇合数表示出来：40=15+25，50=15+35，60=15+45，⋯比38大的个位为2的数（42，52，62，⋯），可以用下面形式的两个奇合数表示出来：42=27+15，52=27+25，62=27+35，⋯比38大的个位为4的数（44，54，64，⋯），可以用下面形式的两个奇合数表示出来：44=9+35，54=9+45，64+9+55，⋯比38大的个位为6的数（46，56，66，⋯），可以用下面形式的两个奇合数表示出来：46=21+25，56=21+35，66=21=45，⋯比38大的个位为8的数（48，58，68，⋯），可以用下面形式的两个奇合数表示出来：48=33+15，58=33+25，68=33+35，⋯这样就证明了比38大的任何一个偶数都可写成两个不同的奇合数之和。所以38是不能写成两个不同的奇合数之和的最大偶数。[例2]已知两个四位数的差是8921（如图1所示），那么这两个四位数的和的最大值是多少？图1思路剖析由数字可知减数的千位上不能为零，而其对应的差为8，所以被减数与减数的千位数必定分别为9与1。同样百位上的数分别是9与0。要求两个四位数的和的最大值，在千位与百位已确定的情况下，十位，个位上的数字差一定，只需其和最大即可。解答据以上分析知，被减数与减数十位上的数字分别为9和7，个位上的数字为9和8，所以这两个数为9999与1078。因为9999+1078=11077所以，这两个四位数的和的最大值是11077。[例3]用20米的长的篱笆围成一个长方形的鸡舍，若长方形一面靠墙，长和宽各为多少时，鸡舍面积最大，最大面积是多少？思路剖析我们知道，当一个长方形周长一定时，如长与宽相等则面积最大。因为此题由于靠墙部分没有篱笆，不能直接运用以上结论。通过观察，我们想到把这个长方形关于墙对称到墙的另一侧（如图2虚线所示），则这两个长方形就转化成了一个较大的长方形。问题也就转化成用40米长的篱笆围成一个长方形，当长方形的长和宽各为多少时，面积最大，最大值为多少？解答作出这个长方形关于墙对称到墙另一侧的部分，得到一个新的长方形，此时大长方形周长为40米，大长方形的长+宽=20米。我们知道当长方形周长一定时，长和宽相等时，面积最大。所以当大长方形长、宽均为10米时，大长方形面积最大。也就是说原长方形长为10米，宽为5米时，鸡舍面积最大，这个最大面积是50平方米。[...
