勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.即abcabba214214222，整理得222cba.【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF. ∠AEH+∠AHE=90o,∴∠AEH+∠BEF=90o.∴∠HEF=180o―90o=90o.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2. RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA. ∠HGD+∠GHD=90o,∴∠EHA+∠GHD=90o.又 ∠GHE=90o,∴∠DHA=90o+90o=180o.∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于2ba.∴22214cabba.∴222cba.【证法3】（赵爽证明）以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角DGCFAHEBabcabcabcabcbabababacbacbacbacbacbacbabcGDCF精选ababccABCDE三角形的面积等于ab21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB. ∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o，∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o.∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于2ab.∴22214cabab.∴222cba.【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC. ∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c.又 ∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于221ba.∴222121221cabba.∴222cba.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线精选PHGFEDCBAabcabcabcabccccbacbaABCEFPQMN交DF于点P. D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED， ∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180o―90o=90o.又 AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90o. RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90o.即∠CBD=90o.又 ∠BDE=90o，∠BCP=90o，BC=BD=a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则,21222abSbaabSc2122,∴222cba.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N. ∠BCA=90o，QP∥BC，∴∠MPC=90o， BM⊥PQ，∴∠BMP=90o，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90o. ∠QBM+∠MBA=∠QBA=90o，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90o，∴∠QBM=∠ABC，又 ∠BMP=90o，∠BCA=90o，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥AC，精选AF交GT于F，AF交DT于R.过B作BP⊥AF，垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H. ∠BAD=90o，∠PAC=90o，∴∠DAH=∠BAC.又 ∠DHA=90o，∠BCA=90o，AD=AB=c，∴RtΔDHA≌RtΔBCA.∴DH=BC=a，AH=AC=b.由作法知PBCA是一个矩形，所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=CA=b，AP=a，从而PH=b―a. RtΔDGT≌RtΔBCA,RtΔDHA≌RtΔBCA.∴RtΔDGT≌RtΔDHA.∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA.又 ∠DGT=90o，∠DHF=90o，∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90o，∴DGFH...
