最短路径（彭国华）VIP专享VIP免费

13.4课题学习最短路径问题1.了解解决最短路径问题的基本策略和基本原理；2.能将实际问题中的“地点”“河”“桥”等抽象为数学中的“点”“线”，使实际问题数学化；3.能运用轴对称、平移变化解决简单的最短路径问题，体会几何变化在解决最短问题中的重要作用。学习目标两点的所有连线中，_________最短；三角形两边之和_________第三边，两边之差___________第三边；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_____________最短；线段垂直平分线上的点与这条线断两个端点的距离_________。基础回归之前研究过的最短路径问题，如：线段大于垂线段相等小于如图所示：从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？你的理由是什么？FEDCBA两点之间线段最短③③②②①①如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？P所以泵站建在点P可使输气管线最短问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？BAll探索新知精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．BAll探索新知追问追问11这是一个实际生活问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．B·Al·探索新知（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和。追问追问22你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？B·Al·探索新知追问追问11对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·探索新知追问追问22你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·探索新知作法：作点B关于直线l的对称点B′；连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′B′CC探索新知B·lA·B′B′CC探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′B′CCC′C′探索新知在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．若直线l上任意一点任意一点（与点C不重合）与A、B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．B·lA·B′B′CCC′C′追问追问11证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？探索新知如图所示，水泵站修在C点可使所用的水管最短.如图所示，水泵站修在C点可使所用的水管最短.ABA’C1、如图，小河边有两个村庄A、B,要在河边建一自来水厂向村庄A与村庄B供水。（1）若要使厂部到A、B村庄的距离相等，则应选择在哪建厂？（2）若要使厂部到A、B村庄的水管最省料，应建在什么地方？运用新知ABA′2、如图，EFGH是矩形的台球桌面，有两球分别位于A、B两点的位置，试问怎样撞击A球，才能使A球先碰撞台边EF反弹后再击中B球？EFGH解：1．作点A关于EF的对称点A′；2．连结A′B交EF于点C则沿AC撞击黑球A，必沿CB反弹击中白球B。C运用新知最短路径的选址问题最短路径的选址问题两点在直线异侧两点在直线异侧两点在直线同侧两点在直线同侧作图根据作图根据证明根据证明根据两点之间，线段最短两点之间，线段最短一点与另一点关于直线的对称...