25/1/4艾镇南制作高二数学选修2-1（理）1.1.3四种命题的关系及反证法及其应用25/1/4艾镇南制作回顾交换原命题的条件和结论，所得的命题是________同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是________交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是__________逆命题。否命题。逆否命题。四种命题形式:原命题:逆命题:否命题:逆否命题:若p,则q若q,则p若┐p,则┐q若┐q,则┐p互为逆否命题的两个命题同真假25/1/4艾镇南制作观察与思考？()()fxfx1）若是正弦函数，则是周期函数。()()fxfx2）若是周期函数，则是正弦函数。()()fxfx3）若不是正弦函数，则不是周期函数。()()fxfx4）若不是周期函数，则不是正弦函数。你能说出其中任意两个命题之间的关系吗?知识要点原命题若p则q逆命题若q则p否命题若﹁p则﹁q逆否命题若﹁q则﹁p互为逆否同真同假互为逆否同真同假互逆命题真假无关互逆命题真假无关互否命题真假无关互否命题真假无关问题1.证明:若222pq,则2pq≤.分析:直接证不好下手.将“若222pq,则2pq≤”看成原命题,由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，要证原命题为真命题，可以证明它的逆否命题“若2pq,则222pq”为真命题.即证明为真命题222,2.pqpq“若则”要证明“若222pq,则2pq≤”是真命题，25/1/4艾镇南制作在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接证明原命题为真命题.──这是一种很好的尝试,它往往具有正难则反,出奇制胜的效果.──它其实是反证法的一种特殊表现:从命题结论的反面出发,引出矛盾(如证明结论的条件不成立),从而证明命题成立的推理方法.关于反证法25/1/4艾镇南制作反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的。即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。有一位数学家说:“反证法是数学上最精良的武器之一.”数学上很多有名的结论都是用反证法得证的.比如说,素数有无穷多个等.问题1.证明:若222pq,则2pq≤.证明:假设2pq,假设原命题结论的反面成立看能否推出原命题条件的反面成立则2()4pq,∴2224pqpq, 222pqpq≥,∴222()4pq,∴222pq,∴222pq.尝试成功这表明原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题.得证25/1/4艾镇南制作反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。反设归谬结论推理过程中一定要用到才行显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).25/1/4艾镇南制作1、反证法证题时关键在第二步，如何导出矛盾。2、导出矛盾有四种可能：（1）与原命题的条件（题设）矛盾；（2）与定义、公理、定理等矛盾；（3）与结论的反面（反设）成立矛盾。（1）难于直接使用已知条件导出结论的命题；（2）唯一性命题；（3）“至多”或“至少”性命题；（4）否定性或肯定性命题。3、反证法的使用范围：几点注意：（4）在证明过程中，推出自相矛盾的结论。25/1/4艾镇南制作思考探究：问题1.证明:若222pq,则2pq≤.还可以用已学过的哪些方法证明？数形结合的数学思想P2+q2＝2表示圆心在原点，半径为的圆，表示一个平面区域，只要证明圆上的点在平面区域内即可。22pq≤例2如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，已知∠DAP≠∠PAC，求证:AP与BC不平行.证明:假设AP与BC平行,假设原命题结论的反面成立看能否推出原命题条件的反面成立 ABAC“等腰△ABC中,AB=AC”不是条件而是大前提∴BC APBC∴DAPBPACC∴DAPPAC尝试成功因为原命题的逆否命题正确，所以原命题也正确.得证证明:假设1ab,则22243abab=()()2()23abababb=1ab=0∴原命题的逆否命题正确，所以原命题也正确.练习1证明:“若222430abab,则1ab.”为真命题.25/1/4艾镇南制作这些条件都与已知矛盾0ba所以原命题成立ba证明:假设a不大于b则a0,b>0所以...
