第26卷第9期2007年9月o.92007C8理，s1物P学GEE大Lco三质点弹簧系统的运动分析何勤，谢秉川(江苏大学物理系，江苏镇江212U03)摘要:分析了一个由三质点和弹黄构成的系统的运动问题，给出了三质点质盘满足不同关系时各质点的运动徽分方程，求出了运动徽分方程的解析解，并由此讨论了各质点的运动规律.关链词:运动微分方程;解析解;运动规律中图分类号:O313.2:0325文献标识码:A文童绷号:1000.0712(2007)09-0013-04力学系统为质点系时，原则上可以用隔离体法对质点系中每一质点进行受力分析，给出各质点的运动微分方程后求解.质点数较多，二阶微分方程数较多，求解困难，我们通常更关心的是质点系整体运动的特征;质点数较少，微分方程数较少，可以求出微分方程的解析解，给出每一质点的具体运动情况.本文分析了一个由三质点和弹簧构成的系统的运动问题，给出了三质点质量满足不同关系时各质点的运动微分方程，求出了运动微分方程的解析解，并由此讨论了各质点的运动规律.如图1所示[i7，质量为‘乞“乡念‘乞‘拍“‘m,的物体A经一个轻质弹簧与下方的质量为m:的物体B相连，弹簧的劲度系数为k,A,B都处于静止状态一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩.开始时各段绳子都处于伸直状态,A上方的一段绳子沿竖直方向，现在挂钩上挂一个质量为Ma的物体展状态时，弹簧的上端点为坐标原点O1，建立坐标轴x,，取弹黄的下端点为坐标原点02，建立坐标轴r2.不论物体C的质量m;的大小如何，在物体B离开地面前只需考虑物体AX的运动.当物体A的位置坐标为x:且一娜:9/k-0,物体B将由静止开始向上运动收稿日期:2006一07一is作者祠介:何拗(1955-)男.江苏扬中人江苏大学物理系副教授万方数据大学物理第26卷将z,=Al:代人上式，并令。>0得设物体A在to时刻向上运动的速度为v'.，对(m，一。，)‘一告k(A12一△l,)>0刀219、△l2=因为kAl1=m18,k012=m29，所以(令(m2一二1)S>0，即，:>粤(m，十艺m，一-i)8-mZ)时，物体B式(4)两边求导后代人to或将△11=m29代人式(2)可得况才能离开地面;m3<2离开地面m1+m2)时，物体B不能认.=(2m3一m;一m2)(m1+m2)k(m1+m3)2ra3l<粤(，，+。，)时，物体A的运动规律石物体B由静止开始离开地面向上运动后，在物体A,B的位置坐标分别为s1(X.>m28/k),s2(X2>0)处，对三物体进行受力分析，由牛顿第二定律可得物体C,A,B的动力学方程分别为(5)(6)由上面分析可知当?，、合(。:十m2)时。物体B不能离开地面，因此式(1)在任意时刻都成立，令d'r1脚3ate=m3%一FT泞二21，，一-,)g，则式(1)变为=FT一m,g一k(x,一x2)k$冲.。+，”呜二O=k(x,一x2)一m29(7)其解可写成E=A.(-/一k一、丫跳,十m3‘+‘小因此有式(5)与式(6)相加得x,=二3-m,)g=Acos(Wpl+00)+(m,一3)豁一(m3一;)g一*(x,-x2)(8)令(m3一二,)9式中。。=km,+m3，A、币。由初始条件确定.(3)因为式(8)乘以m2减式(7)乘以(m,+m3)并整理得子(x:一x,)一兀平-一十(m,+m2+m3)k(x,一x2)2m39m2(m,+m3)t=。时，，.的初始位置为x,a-MI9，初速度为m,+m3(9)式(5)至式(7)三式相加得Z10=0，所以，凡=a,A=切39.于是"T1=m39k(。。:+!)+1(km3一ml)g(4),d'x,d'X,lmltm3)不z十m2石户=(m，一ml一m2)9(10)上式表示当m3<告(ml+m2)时，物体A(物体对式(10)积分并利用初始条件t=to,xI,.=x2:一0反Ira=v"n,X2q二0，得刀王29C)始终按余弦规律运动.3m3>粤...
