第1讲坐标系一、知识梳理1．坐标系(1)伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(λx，μy)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．(2)极坐标系在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则3．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a．(3)直线过点M且平行于极轴：ρsinθ＝b．4．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则该圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r.(2)当圆心位于M(a，0)，半径为a：ρ＝2acosθ．(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asinθ．常用结论1．明辨两个坐标伸缩变换关系式点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x′，y′)的坐标满足变换后的曲线方程．2．极坐标方程与直角坐标方程互化(1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简．(2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．二、习题改编1．(选修44P15T2改编)在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是()A.B.C．(1，0)D．(1，π)解析：选B.由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.故选B.2．(选修44P15T2改编)圆心C的极坐标为，且圆C经过极点．求圆C的极坐标方程．解：圆心C的直角坐标为(，)，则设圆C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2＝r2，依题意可知r2＝(0－)2＋(0－)2＝4，故圆C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2＝4，化为极坐标方程为ρ2－2ρ(sinθ＋cosθ)＝0，即ρ＝2(sinθ＋cosθ)．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．()(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．()(3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．()答案：(1)×(2)√(3)×二、易错纠偏(1)对极坐标几何意义不理解；(2)极坐标与直角坐标的互化致误．1．在极坐标系中，已知两点A，B，则|AB|＝．解析：设极点为O.在△OAB中，A，B，由余弦定理，得AB＝＝.答案：2．确定极坐标方程ρ2cos2θ－2ρcosθ＝1表示的曲线．解：由极坐标方程ρ2cos2θ－2ρcosθ＝1，得ρ2(cos2θ－sin2θ)－2ρcosθ＝1.由互化公式得x2－y2－2x＝1，即(x－1)2－y2＝2.故此方程表示以(1，0)为中心，F1(－1，0)，F2(3，0)为焦点的等轴双曲线．平面直角坐标系中的伸缩变换(师生共研)(1)曲线C：x2＋y2＝1经过伸缩变换得到曲线C′，则曲线C′的方程为．(2)曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x′2＋y′2＝1，则曲线C的方程为．【解析】(1)因为所以代入曲线C的方程得C′：＋y′2＝1.(2)根据题意，曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x′2＋y′2＝1，则(2x)2＋(3y)2＝1，即4x2＋9y2＝1，所以曲线C的方程为4x2＋9y2＝1.【答案】(1)＋y′2＝1(2)4x2＋9y2＝11．平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，整理得y′＝h(x′)即为所求．2．解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明...
