●备课资料参考例题[例1]已知等差数列{an}中,a15=33,a45=153,试问217是否为此数列的项?若是说明是第几项;若不是,说明理由.分析:这是一个探索性问题,但由于在条件中已知道两项的值,所以,在求解方法上,可以考虑运用方程思想求解基本量a1和d,也可以利用性质求d,再就是考虑运用等差数列的几何意义.解法一:由通项公式,得4231534433141145115dadaadaa由217=-23+4(n-1),得n=61.解法二:由等差数列性质,得a45-a15=30d=153-33,即d=4又an=a15+(n-15)d,217=33+4(n-15),解得n=61.解法三:由等差数列的几何意义可知,等差数列的图象是一些共线的点由于P(15,33),Q(45,153),R(n,217)在同一条直线上,故有45153217154533153n,解得n=61.评述:运用等差数列的通项公式,知三求一.如果已知两个条件,就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质,几何意义去考虑也可以,因此要根据具体问题具体分析.[例2]已知数列{an}为等差数列,a3=45,a7=-43,求a15的值.解法一:利用通项公式,设数列{an}的首项为a1,公差为d则43645211dada,解之得49211ada15=a1+14d=49+14×(-21)=-419解法二:利用等差数列的性质a7=a3+4d把已知条件代入,得:d=-21∴a15=a7+(15-7)d=-419.解法三: {an}为等差数列,∴a3,a7,a11,a15……也成等差数列由a3=45,a7=-43,网站:http://www.zbjy.cn论坛:http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网1知上述数列首项为45,公差为-2∴a15=45+(3-1)·(-2)=-419[例3]两个等差数列5,8,11,……和3,7,11,……都有100项,那么它们共有多少相同的项?分析:显然,已知的两数列的所有相同的项将构成一个新的数列{an},这样问题就转化为一个研究数列{an}的项数问题了.解法一:设已知的两数列的所有相同的项将构成的新数列为{cn},c1=11,又数列5,8,11,……的通项公式为an=3n+2,数列3,7,11,……的通项公式为bn=4n-1.∴数列{cn}为等差数列,且d=12.∴cn=12n-1又 a100=302,b100=399,∴cn=12n-1<302得n≤2541,可见已知两数列共有25个相同的项.解法二: an=3n+2,bn=4n-1,设an=bm,则有3n+2=4m-1(n,m∈N*),即n=34m-1(n,m∈N*)要使n为正整数,m必须是3的倍数.设m=3k(k∈N*),代入前式得n=4k-1,又 1≤3k≤100,且1≤4k-1≤100,解得1≤k≤25,∴共有25个相同的项.[例4]一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是()A.-2B.-3C.-4D.-5分析:由,0)17(230)16(23dd得:-4.6<d<-623答案:C●备课资料一、参考例题[例1]已知三个数成等差数列,其和为15,其平方和为83,求此三个数.解:设此三数分别为x-d、x、x+d,则83)()(15)()(222dxxdxdxxdx,解得x=5,d=±2.∴所求三个数列分别为3、5、7或7、5、3.评述:三个数成等差数列时注意其设法.[例2]已知数列{an}为等差数列,a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间插入三个数后,和原数列仍构成一个等差数列,试问:(1)原数列的第12项是新数列的第几项?(2)新数列的第29项是原数列的第几项?分析:运用递推归纳的思想方法,从特殊中找规律,得到或猜想出一般结论,然后再回到特殊解决问题,这应该是解决本题的一个基本途径.网站:http://www.zbjy.cn论坛:http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网2解:原数列的第一项是新数列的第1项,原数列的第二项是新数列的第2+3=5项,原数列的第三项是新数列的第3+2×3=9项.……原数列的第n项是新数列的第n+(n-1)×3=4n-3项.(1)当n=12时,4n-3=4×12-3=45,故原数列的第12项是新数列的第45项.(2)令4n-3=29,解得n=8,故新数列的第29项是原数列的第8项.评述:一般地,在公差为d的等差数列每相邻两项之间插入m个数,构成一个新的等差数列,则新数列的公差为1md,原数列的第n项是新数列的第n+(n-1)m=[(m+1)n-m]项.[例3]在等差数列{an}中,若a3+a8+a13=12,a3a8a13=28,求{an}的通项公式.分析一:利用等差数列的通项公式求解.解法一:设所求的通项公式为an=a...