函数与方程思想VIP免费

[二轮备考讲义]第一部分数学思想方法专题大突破第一讲函数与方程思想思想方法归纳概括高三冲刺,给你一颗勇敢的心1．函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2．函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化．对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.热点盘点细研深究必须回访的热点名题[试题调研][例1](2014·广东)设函数f(x)＝1x2＋2x＋k2＋2x2＋2x＋k－3，其中k＜－2.(1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示)；(2)讨论函数f(x)在D上的单调性；(3)若k＜－6，求D上满足条件f(x)＞f(1)的x的集合(用区间表示)．利用函数与方程思想求解范围及最值[命题意图]本题主要考查求解函数的定义域、函数的单调性、不等式的求解等基础知识，结合函数与方程思想的运用考查考生的运算求解能力．[审题策略](1)根据函数解析式的特点列出满足条件的不等式，结合二次方程、二次函数与已知不等式的关系进行求解．(2)根据(1)的结论结合二次函数的性质得出单调区间．(3)根据k<－6得出根的大小关系，利用函数自身的对称性可得f(1)＝f(－3)，然后再列方程求根进行求解．[解析](1)由(x2＋2x＋k)2＋2(x2＋2x＋k)－3＞0，得[(x2＋2x＋k)＋3]·[(x2＋2x＋k)－1]＞0，∴x2＋2x＋k＜－3或x2＋2x＋k＞1，∴(x＋1)2＜－2－k(－2－k＞0)或(x＋1)2＞2－k(2－k＞0)，∴|x＋1|＜－2－k或|x＋1|＞2－k，∴－1－－2－k＜x＜－1＋－2－k或x＜－1－2－k或x＞－1＋2－k，故函数f(x)的定义域D为(－∞，－1－2－k)∪(－1－－2－k，－1＋－2－k)∪(－1＋2－k，＋∞)．(2)f′(x)＝－[2x2＋2x＋k＋2]2x＋22[x2＋2x＋k2＋2x2＋2x＋k－3]3＝－2x2＋2x＋k＋1x＋1[x2＋2x＋k2＋2x2＋2x＋k－3]3，由f′(x)＞0，得2(x2＋2x＋k＋1)(x＋1)＜0，即(x＋1＋－k)(x＋1－－k)(x＋1)＜0，∴x＜－1－－k或－1＜x＜－1＋－k，结合函数的定义域知，x＜－1－2－k或－1＜x＜－1＋－2－k，∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1－2－k)，(－1，－1＋－2－k)，同理可得函数f(x)的单调递减区间为(－1－－2－k，－1)，(－1＋2－k，＋∞)．(3)由f(x)＝f(1)，得(x2＋2x＋k)2＋2(x2＋2x＋k)－3＝(3＋k)2＋2(3＋k)－3，∴[(x2＋2x＋k)2－(3＋k)2]＋2[(x2＋2x＋k)－(3＋k)]＝0，∴(x2＋2x＋2k＋5)(x2＋2x－3)＝0. k＜－6，∴－2k－4＞0，∴(x＋1＋－2k－4)(x＋1－－2k－4)(x＋3)(x－1)＝0，∴x＝－1－－2k－4或x＝－1＋－2k－4或x＝－3或x＝1. k＜－6，∴1∈(－1，－1＋－2－k)，－3∈(－1－－2－k，－1)，－1－－2k－4＜－1－2－k，－1＋－2k－4＞－1＋2－k，故结合函数f(x)的单调性知，f(x)＞f(1)的解集为(－1－－2k－4，－1－2－k)∪(－1－－2－k，－3)∪(1，－1＋－2－k)∪(－1＋2－k，－1＋－2k－4)．函数的主干知识、函数的综合应用以及函数与方程思想的考查一直是高考的重点内容之一．高考试题中，既有灵活多变的...