一元二次方程的整数根浦东新区彭镇中学王国新电话：18019417586对于一元二次方程为实数）。如果此方程有整数根，那么根的判别式必需是一个完全平方数，即存在整数k，使得成立。反之，若，方程不一定有整数根。例如：方程中，49，但方程没有整数根。例1.当m为何值时，方程的两根都是整数？分析：若两根都是整数，那么△必是一个平方数。解：设△∵∴同奇同偶∴或消去k得：∴经检验，，原方程的两根都是整数。答：当或时，原方程的两根都是整数。说明：本题利用两数的同奇同偶的性质，把12分解为±2和±6的积，求得的m的值必须要检验原方程的两根是否为整数，不是整数根的m的值要舍去。例2．当m为何整数时,关于x的方程和方程的根都是整数？分析：由一元二次方程根的判别式，求出m的取值范围，确定m的值，再由m的值求出两个方程的根。解：由题意得解得∵是整数∴当时，方程可化为，方程两根为方程可化为,方程两根为,当时,方程可化为,方程两根为,不是整数根，舍去。∴当时，两方程的根均为整数。说明：此题要求两个方程都有整数根，因此有，又知两个方程都是二次方程，∴,由此求出m的取值范围，再确定整数m的值，把m的值分别带入两个方程检验是否使方程的根均为整数。例三．若关于x的方程的两实数根均为整数，其中m为自然数，且10＜m＜30.求m的值,并求出方程的根。分析：由条件10＜m＜30确定△的平方数是多少，再求出m的值。解：∵10＜m＜30∴21＜＜61∴=25或=49（∵是奇数）∴m=12或m=24当m=12时，原方程可化为：求得方程两根.当m=24时，原方程可化为：求得方程两根说明：此题的关键是在21＜＜61范围内确定（）的平方数是多少。因为在21＜＜61范围内的平方数只有25，36，49.又（）是奇数，所以，（）确定为25和49.例四：已知关于x的方程有两个正整数根，的三边为a,b,c且满足,求：（1）整数m的值；（2）的面积。分析：（1）利用因式分解法可求出方程的两个根，在由正整数根确定m的值。（2）由m的值求出a,b的值,通过a,b,c的值,可确定的形状(等腰三角形或直角三角形),即可求出的面积。解：（1）由得：解得：∵方程的两个均为正整数∴公共解为（2）把分别代入两个方程中得:,解得：当时，是等腰三角形，过点A作于点,则（等腰三角形三线合一）由勾股定理求得∴当时，是等腰三角形，同理求得：当时，有是直角三角形，求得：说明：本题关键是利用方程的正整数解确定m的公共解，若将题目改为整数解，则m还有两个解，0或。求等腰三角形的面积问题，是先做底边上的高，利用等腰三角形三线合一和勾股定理求出底边上的高即可。CABDABC例五．已知n为整数，方程有整数根，求n的值。分析：利用有理数与无理数的关系，若，则有。解：设方程的整数根为m,则有因是无理数，都是整数，所以必有和∴解得：说明：由等式的左边是有理数，而右边是无理数与有理数的乘积，所以这个乘积必为0；即等式两边都是0.求一元二次方程整数根的问题，通常可考虑有理数与实数的关系，或利用因式分解，或利用一元二次方程的判别式与求根公式，或利用平方数等，具体操作时，应视具体问题的特征，恰当地选择解题思路。以下题目供练习使用。1．m为何整数时，关于x的方程有两个整数根，并求出所有的整数根。2．若关于x的方程的两根均为整数根，求整数m的值。3．已知关于x的方程有两个整数根,求整数n的值。答案：1.整数根略。2.3.
