第15讲反比例函数考点一一般地，函数y＝kx或y＝kx－1(k是常数，k≠0)叫做反比例函数．1．反比例函数y＝kx中的kx是一个分式，所以自变量x≠0，函数与x轴、y轴无交点．2．反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.考点二反比例函数的图象和性质1．反比例函数y＝kx(k≠0)的图象是双曲线因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但永不与x轴、y轴相交．2．反比例函数的图象和性质反比例函数y＝kx(k≠0)的图象总是关于原点对称的，它的位置和性质受k的符号的影响．(1)k＞0⇔图象(双曲线)的两个分支分别在一、三象限，如图①所示．图象自左向右是下降的⇔当x＜0或x＞0时，y随x的增大而减小(或y随x的减小而增大)．(2)k＜0⇔图象(双曲线)的两个分支分别在二、四象限，如图②所示．图象自左向右是上升的⇔当x＜0或x＞0时，y随x的增大而增大(或y随x的减小而减小)．考点三由于反比例函数的关系式中只有一个未知数，因此只需已知一组对应值就可以．待定系数法求解析式的步骤：①设出含有待定系数的函数解析式；②把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程求出待定系数．考点四反比例函数y＝kx(k≠0)中k的几何意义：双曲线y＝kx(k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为|k|.理由：如图①和②，过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线PA、PB所得的矩形PAOB的面积S＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|； y＝kx，∴xy＝k，∴S＝|k|，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形面积均为|k|，同理可得S△OPA＝S△AOB＝12|xy|＝12|k|.考点五解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．(1)(2010·桂林)若反比例函数y＝kx的图象经过点(－3,2)，则k的值为()A．－6B．6C．－5D．5(2)(2010·宁波)已知反比例函数y＝1x，下列结论不正确．．．的是()A．图象经过点(1,1)B．图象在第一、三象限C．当x>1时，0y2>y3B．y1>y3>y2C．y3>y1>y2D．y2>y3>y1(4)(2010·眉山)如图，已知双曲线y＝kx(k<0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C.若点A的坐标为(－6,4)，则△AOC的面积为()A．12B．9C．6D．4【点拨】本组题主要考查反比例函数的图象和性质，解决此类问题时，往往用数形结合的思想方法在解题中能起到化繁为简、化难为易的作用．这是因为“形”能直观地启迪“数”的计算，“数”能准确地澄清“形”的模糊．【解答】(1)把x＝－3，y＝2代入得k＝xy＝－3×2＝－6，故选A.(2) k＝1>0，∴当x<0时，y随着x的增大而减小，故选D.(3) －k2－1<0，∴两个分支在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．当x＝－1时，y1>0. 2<3，∴y2y3>y2，故选B.(4) D为OA的中点，所以D点的坐标为(－3,2)，∴k＝－3×2＝－6，即双曲线y＝－6x.当x＝－6时，y＝1，∴C(－6,1)．∴S△AOC＝12×6×4－12×6×1＝12－3＝9.(1)(2010·天津)已知反比例函数y＝k－1x(k为常数，k≠1)．①若点A(1,2)在这个函数的图象上，求k的值；②若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；③若k＝13，试判断点B(3,4)，C(2,5)是否在这个函数的图象上，并说明理由．(2)(2010·成都)如图，已知反比例函数y＝kx与一次函数y＝x＋b的图象在第一象限相交于点A(1，－k＋4)．①试确定这两个函数的表达式；②求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．【点拨】解一次函数与反比例函数综合性试题时，要注意运用“把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系”的策略，这样可以使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化．【解答】(1)① 点A(1,2)在这个函数的图象上，∴2＝k－1，解得k＝3.② 在函数y＝k－1x图象的每一支上，y随x的增大而减小，∴k－1>0.解得k>1.③...
