2013中考数学压轴题函数平行四边形问题(三)例5如图1，等边△ABC的边长为4，E是边BC上的动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE＝EB．设EC＝x（0＜x≤2）．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ的面积（用含的代数式表示）；（3）当（2）中的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．图1动感体验请打开几何画板文件名“09福州21”，拖动点E在BC上运动，观察面积随x变化的图象，可以体验到，当E是BC的中点时，平行四边形EFPQ的面积最大，此时四边形EFPQ是菱形．拖动点M在BC的垂直平分线上运动可以改变⊙E的大小，可以体验到，⊙E与平行四边形EFPQ四条边交点的总个数可能为2，4，6，3，0．思路点拨1．如何用含有x的式子表示平行四边形的边PQ，第（1）题作了暗示．2．通过计算，求出平行四边形面积最大时的x值，准确、规范地画出此时的图形是解第（3）题的关键，此时点E是BC的中点，图形充满了特殊性．3．画出两个同心圆可以帮助探究、理解第（3）题：过点H的圆，过点C的圆．满分解答（1）BE、PE、BF三条线段中任选两条．（2）如图2，在Rt△CEH中，∠C＝60°，EC＝x，所以．因为PQ＝FE＝BE＝4－x，所以．（3）因为，所以当x＝2时，平行四边形EFPQ的面积最大．此时E、F、P分别为△ABC的三边BC、AB、AC的中点，且C、Q重合，四边形EFPQ是边长为2的菱形（如图3）．图2图3过点E点作ED⊥FP于D，则ED＝EH＝．如图4，当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是2个时，0＜r＜；如图5，当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是4个时，r＝；如图6，当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是6个时，＜r＜2；如图7，当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是3个时，r＝2时；如图8，当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是0个时，r＞2时．图4图5图6图7图8考点伸展本题中E是边BC上的动点，设EC＝x，如果没有限定0＜x≤2，那么平行四边形EFPQ的面积是如何随x的变化而变化的？事实上，当x＞2时，点P就不存在了，平行四边形EFPQ也就不存在了．因此平行四边形EFPQ的面积随x的增大而增大．例6如图1，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系．图1动感体验请打开几何画板文件名“09江西24”，拖动点P在BC上运动，可以体验到，四边形PEDF可以成为平行四边形．观察△BCF的形状和S随m变化的图象，可以体验到，S是m的二次函数，当P是BC的中点时，S取得最大值．思路点拨1．数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．2．当四边形PEDF为平行四边形时，根据DE=FP列关于m的方程．3．把△BCF分割为两个共底FP的三角形，高的和等于OB．满分解答（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是x＝1．（2）①直线BC的解析式为y＝－x＋3．把x＝1代入y＝－x＋3，得y＝2．所以点E的坐标为（1，2）．把x＝1代入，得y＝4．所以点D的坐标为（1，4）．因此DE=2．因为PF//DE，点P的横坐标为m，设点P的坐标为，点F的坐标为，因此．当四边形PEDF是平行四边形时，DE=FP．于是得到．解得，（与点E重合，舍去）．因此，当m=2时，四边形PEDF是平行四边形时．②设直线PF与x轴交于点M，那么OM+BM=OB=3．因此．m的变化范围是0≤m≤3．图2图3考点伸展在本题条件下，四边形PEDF可能是等腰梯形吗？如果可能，求m的值；如果不可能，请说明理由．如图4，如果四边形PEDF是等腰梯形，那么DG=EH，因此．于是．解得（与点CE重合，舍去），（与点E重合，舍去）．因此四边形PEDF不可能成为等腰梯形．图4例7如图，在平面直角坐标系xOy中，直线...
