转化与化归思想VIP免费

[二轮备考讲义]第一部分数学思想方法专题大突破第四讲转化与化归思想思想方法归纳概括高三冲刺,给你一颗勇敢的心1．转化与化归思想方法就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．2．转化与化归的基本类型(1)正与反、一般与特殊的转化，即正难则反、特殊化原则．(2)常量与变量的转化，即在处理多元问题时，选取其中的常量(或参数)当“主元”，其他的变量看作常量．(3)数与形的转化，即利用对数量关系的讨论来研究图形性质，也可利用图形直观提供思路，直接地反映函数或方程中变量之间的关系．(4)数学各分支之间的转化，如利用向量方法解立体几何问题，用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题等．(5)相等与不等之间的转化．(6)实际问题与数学模型的转化．3．转化与化归思想在解题中的应用(1)在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等．(2)换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法．(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化．(4)在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．(5)在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数f′(x)构成的方程、不等式问题求解．(6)在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间进行转化．热点盘点细研深究必须回访的热点名题[试题调研][例1](2014·新课标全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．具体与抽象、特殊与一般的转化[命题意图]本题主要考查等差数列的概念及运算求解能力、逻辑推理能力及综合运用知识解决问题的能力，考查考生由特殊到一般的转化能力．[审题策略](1)利用an＋1＝Sn＋1－Sn的关系构造方程组可得到证题的结论．(2)根据等差数列的定义，由所给出的递推关系求出a1，a2，a3的值，利用2a2＝a1＋a3可先确定λ的取值，再回归到一般性的证明求解中．[解析](1)证明：由题设知，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减，得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)由题设知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，解得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．当问题难以入手时，应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析，发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素，然后推广到一般情形，以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过程，这就是特殊化的化归策略．数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性，解题时，有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归为一般问题．[回访名题](2014·山西质检)定义在R上的函数f(x)的图象既关于点(1,1)对称，又关于点(3,2)对称，则f(0)＋f(2)＋f(4)＋…＋f(14)＝()A．16B．24C．32D．48[答案]C[解析]根据一般性，可构造特殊函数求解．易知过两点(1,1)，(3,2)的直线满足题意，故可构造函数f(x)＝12(x＋1)，则f(0)＋f(2)＋f(4)＋…＋f(14)＝12×(1＋3＋5＋…＋15)＝32，故选C.函数方程与不等式之间的转化[试题调研][例2](2014·银川高三模拟)已知函数f(x)＝x2＋bsinx－2(b∈R)，F(x)＝f(x)＋2，且对于任意实数x，恒有F(x－5)＝F(5－x)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知函数g(x)＝f(x)＋2(x＋1)＋alnx在区间(0,1)上单调...