专题考案(3)三角板块第1课三角函数公式(时间：90分钟满分：100分)题型示例若A-B=,tanA-tanB=,则cosA·cosB=.解tan(A-B)=(1+tanA·tanB)·1+cosA·cosB+sinA·sinB=2cosA·cosBcosA·cosB=cos(A-B)=.答案点评“化切为弦”是三角变换的常用方法.若把1+=2化为=1cosA·cosB=sinA·sinB,解题便陷入困境，不易求解.一、选择题(9×3′＝27′)1．tan15°+cot15°等于()A.2B.2+C.4D.2．当x≠(k∈Z)时，的值是()A.恒正B.恒负C.非负D.无法确定3．若cotα=2,则sin2α+sin2α的值是()A.1B.-1C.2D.以上都不对4．若△ABC为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是()A.logcosC>0B.logcosC>0C.logsinC>0D.logsinC>05．设tanα=,tanβ=,α、β均为锐角，则α+2β的值是()A.B.πC.πD.π6．如果角θ满足条件,则θ是()A.第二象限角B.第二或第四象限角C.第四象限角D.第一或第三角限角7．若cotθ=3,则cos2θ-sin2θ的值是()A.-B.-C.D.18．若α∈［0,2π］,且则α的取值范围是()A.［0，2π］B.［,π］C.［0,π］D.［π,2π］9．在△ABC中，若sin(+A)cos(A+C-π)=1,则△ABC为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形二、填空题(5×3′＝15′)10．化简=.11．tan20°+tan40°+tan20°tan40°的值是.12．若sinα+sinβ=,cosα+cosβ=,则sin(α+)的值为.13．已知α=,的值为.14．若a≠0，且sinx+siny=a，cosx+cosy=a,则sinx+cosx=.三、解答题(2×10′＋6′＋10′＝36′)15．已知tanα、cotα是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两实根，且3π<α<π，求cos(3π+α)+sin(π+α)的值.16．已知tan.(1)求tanα的值;(2)求的值.17．已知sinα+cosβ=,求cosα+sinβ的取值范围.18．已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,α∈,π）,求sin(2α+)的值.四、思考与讨论(12′＋10′＝22′)19．已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根为sinθ和cosθ，θ∈(0,2π)，求：(1)的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．20．设α、β、γ是锐角,且tan,tanβ=tanγ,求证：α、β、γ成等差数列.2参考答案1．Ctan15°+cot15°=tan15°+2．Ax≠,k∈Z,.3．Acotα=2sinα=又由cotα=2>0知sinα、cosα同号.∴sin2α+sin2α=2×=1.4．A∵A+B>,∴A>-B,cosA0.5．Atanβ=tan2β=又<1,<1,则0<α<,0<β<,∴0<α+2β<π,又tan(α+2β)=+=1,∴α+2β=.6．B∵sin2θ+cos2θ=1,∴k=0或8．k=0时，sinθ=-，cosθ=，θ在第四象限；k=8时，sinθ=，cosθ=,θ在第二象限．7．Ccotθ=3,则tanθ=,∴sin2θ=,cos2θ=cos2θ-38．Dα∈［0,2π］,则∈［0,π］.由已知得sin≥0,cos≤0,∴∈［,π］,∴α∈［π,2π］.9．Csin（+A）cos(A+C-π)=1sin(+A)=1,cos(A+C-π)=1A=,A+C=π.10．11．=tan60°=tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.12．由已知sinβ=-sinα,cosβ=-cosα,两式平方相加得1=2-sinα-cosα=2-2sin(α+)，∴sin(α+)=.13．14．a∵sin2y+cos2y=1,∴(a-sinx)2+(a-cosx)2=1,得2a2-2a(sinx+cosx)+1=1,∴sinx+cosx=a．15．解得k=±2,tanα=±1,又3π<α<π,∴tanα=1,α=π.cos(3π+α)+sin(π+α)=-cosα-sinα=.16．分析（1）将已知用两角和的正切公式展开即可.(2)将所求式子化简成只含tanα的形式，再代入数便可求解.解(1)tan由tan(2)方法14方法2由(1),tanα=-,得sinα=-cosα.∴sin2α=cos2α,1-cos2α=cos2α.∴cos2α=,于是cos2α=2cos2α-1=,sin2α=2sinαcosα=-cos2α=-.代入得点评本题考查了两角和的正切公式，倍角的正余弦公式等一些基本三角公式，进而考查了学生灵活运用公式的能力及运算能力.17．解设cosα+sinβ=t,则①2+②2,得:2+2sin(α+β)=+t2,∴sin(α+β)=由sin(α+β)∈［-1,1］得-1≤≤1即,从而cosα+sinβ的取值范围是.点评如果已知sinα+cosβ=m,cosα+sinβ=n,则两边平方出现sin2α+cos2α=1,sin2β+cos2β=1,可以求出sin(α+β)的值，同样已知sinα+sinβ=m,cosα+cosβ=n平方可求出cos(α-β)的值.18．解方法1由已知得(3sinα+2cosα)(2sinα-cosα)=03sinα+2cosα=0或2sinα-cosα=0.由已知条件可知cosα≠0，所以α≠,即α∈(,π).于是tanα<0,∴tanα=-.sin(2α+)=sin2αcos+cos2αsin=sinαcosα+(cos2α-sin2α)=将tanα=-代入上式得5①②方法2由已知条件可知cosα≠0,则α≠,所以原式可化为6tan2α+tanα-2=0.即(3tanα+2)(2tan-1)=0.又∵α∈,∴tanα<0.∴tanα=-.下同方法1.19．解(1)由根与系数的关系，知原式=(2)由①式平方，得(sinθ+cosθ)2=，即1+2sinθcosθ=．∴sinθcosθ=.由②，得=,∴m=.(3)当m=时，原方程为2x2-(+1)x+=0,解得x1=,x2=.∴又x∈(0，2π)，∴θ=20．解tanβ=再分析范围得β=，故α、β、γ成等差数列.6①②
