二用数学归纳法证明不等式VIP免费

4.2用数学归纳法证明不等式举例4-5不等式选讲永州市第四中学陈小平比较法比较法复习证明不等式的常用方法：综合分析法综合分析法反证法反证法放缩法放缩法作差比较、作商比较由因导果、执果索因正难则反|sin||cossin|)1(112，nnn.?22试证明你的结论的大小关系怎样，两个数列问题：nnnbna5,2,,5,2nNnnbannn即项起从第由数列的前几项猜想.,512,256,128,64,32,16,8,4,2:}2{;,81,64,49,36,25,16,9,4,1:}{2nnnbna怎么证明呢？试证明：当时，.5,*NNn22nn数学归纳法复习：证明一个与正整数n有关的命题，可以按以下步骤进行：(1)证明当取第一个值时命题成立；n)(*00Nnn(2)假设时命题成立，证明当时命题也成立；),(*0Nknkkn1kn只要完成以上两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数成立，这种证明方法叫数学归纳法。0n命题成立时验证0nn时命题也成立证明时命题成立若1,)(0knnkkn归纳奠基归纳递推所有正整数都成立开始的命题对从0n数学归纳法用于证明与正整数有关的命题；归纳奠基与归纳递推两个步骤缺一不可，且在第二步中必须用到假设。数学归纳的定义与步骤问题试证明：当时，.5,*NNn22nn.,255152命题成立时有当证明n.2,522kkkkn即有时命题成立假设当121.122kkkkn因为时当kkkkk32222222kkk.2221kk.1,2112时命题成立即所以knkk.5,2,212nNnnn可知由.|sin||sin|2Nnnn证明不等式例对值有关。，三角函数问题，与绝涉及正整数分析：n绝对值不等式，考虑：三角函数公式，归纳，用数学归纳法。有关，考虑对结果与nn|sincos||cossin|kk|sin||cos||cos||sin|kk|sin||sin|k|sin||sin|k.|sin|1k.1时不等式成立所以当kn.,21均成立不等式对一切正整数可知由n.,|sin|,11不等式成立右边上式左边时当证明n.|sin||sin|,,12kkkkn即有不等式成立时假设当,1时当kn|1sin|k|sincoscossin|kk两角和公式不等式性质放缩法.11,1,0,1,:3nxxnxxxBernoullin那么有的自然数为大于且是实数如果不等式证明贝努利例的自然数。是大于的任意实数且不等于于表示大个字母贝努利不等式中涉及两分析：1,01,nx成立，时易得对取0,13,2xxn取更大的值时呢？当n归纳。对归纳，即用数学归纳法所以可以考虑对nnkkxxxkn111,11时当kxx1121kxkxx.11xk.1时不等式成立所以当kn.,21贝努利不等式成立可知由.,212110,2122不等式成立得由于时当证明xxxxxn.11,22kxxkknk即有时不等式成立假设当.21111,0,1,,..11,成立的正整数对一切不小于到不等式由贝努利不等式不难得时且是实数当如例作用证明不等式中可以发挥这在数值故计和放缩法形式简单的缩小为式把二项式的乘方人们经常用贝努利不等在数学研究中nxnxxxxxxnxxnn:,,,一般的形式它们是贝努利不等式更仍有类似不等式成立时改为实数整数把贝努利不等式中的正事实上n.111,01,xxx有时或者并满足是实数当.111,10,xxx有时并且满足是实数当理。综合分析法、放缩法处必要时可以用时命题成立明充分利用这样联系来证关系时命题之间的法创设归纳假设与关知识。注意发现或设件及相灵活利用问题的其他条归纳假设命题成立，要正确使用时时命题成立推出在由等式使用数学归纳法证明不.1,1,1,knknknkn的取值范围。的正整数求满足不等式练习：nnnn)11(ennn)11(limexxx10)1(lim.,1,,,:4212121naaaaaaaaannnnn那么它们的和的乘积个正数为正整数如果证明例.,1,111命题成立有时当证明an.,1,,22121kaaaaaakknkk...