3.4生活中的优化问题举例-(2)VIP免费

广州市第九十七中学选修1-13.4一、如何判断函数的单调性？f(x)为增函数f(x)为减函数设函数y=f(x)在某个区间内可导，二、如何求函数的极值与最值？1.求函数极值的一般步骤（1）确定定义域；（2）求导数f’(x)；（3）求f’(x)=0的根；（4）列表；（5）判断。2.求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值；(2)将y=f(x)的各极值与端点值f(a)、f(b)比较,从而确定函数的最值。复习回顾复习回顾规格（L）21.250.6价格（元）5.14.52.5问题背景：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？例：海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？x分析：已知版心的面积，你能否设计出版心的高，求出版心的宽，从而列出海报四周的面积来？例题讲解思考1：版心面积为定值128dm2，海报的面积是否也为定值？思考2：设版心的高为x，则海报的面积为多少？海报四周空白的面积为多少？128(4)(2)xx++128(4)(2)128xx++-思考3：设海报四周空白的面积为S(x)，则S(x)的最简表达式如何？其定义域是什么？512()28,0Sxxxx=++>思考4：如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？x128,:,xdmdmx设版心的高为则版心的宽为此时四周空解白面积为'0,160xsx当时，；在本题解法中，“x=16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点。”为什么？128()(4)(2)128Sxxx51228,0xxx'2512()2Sxx求导数,得'2512()20Sxx令：1616xx解得：，（舍）128128816x于是宽为：'16,0.xsx当时，因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。一个函数在某个区间上若只有一个极值(即为单峰函数），则该极值即为这个区间上函数的最值128,:,xdmdmx设版心的高为则版心的宽为此时四周空解白面积为'0,160xsx当时，；你还有其他解法吗？例如用基本不等式行不？128()(4)(2)128Sxxx51228,0xxx'2512()2Sxx求导数,得'2512()20Sxx令：1616xx解得：，（舍）128128816x于是宽为：'16,0.xsx当时，因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。解法一（导数法）：解法二（基本不等式）：512512()28228Sxxxxx232872512,16(0)xxxSx当且仅当2即时取最小值，8128此时y=16例题讲解答：当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。思考5：若学校用来粘贴海报的版面只有15dm*90dm，此时如何设计版心才能使得四周空白面积最小？还能用均值不等式解决问题吗？当高时x=15dm导数方法才是通法通则2、在实际应用题目中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点x0，则不需与端点比较，f(x0)即是所求的最大值或最小值.1、设出变量列出函数关系式，并确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义。解题说明3、解决优化问题的基本思路是：优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。小结练习1：将一段长为12cm的铁丝围成一个矩形，则这个矩形面积的最大值为多少？解：22266606)()6206)()03()0,03()(0,3),()(3,6)()3(3)9,9:xcmxcmSSxxxxxxSxxxSxxSxxSxSxSxxcmScmcm设矩形的一边为，则另一边为（），面积为（）（）（（令，解得当时得在上是单调递增的在是单调递减的在处取到最大值当矩形是正方形时它的面积最大为答课堂练习练习2:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?xh课堂练习xhxh解：设箱底边长为x,箱子容积...