例1练习巩固思考1引入知识要点例1的思考立体几何中的向量方法(二)立体几何中的向量方法(二)立体几何要解决的主要问题是空间图形的形状、大小及其位置关系.其中点到直线、点到平面之间的距离问题以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的夹角问题是立体几何研究的重要问题.上一节,我们认识了直线的方向向量及平面的法向量的概念,发现可以利用这两个向量的运算(特别是数量积)解决点、直线、平面之间的平行、垂直、夹角等问题.问题:已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量?在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB,(0,0,2)C,试求平面ABC的一个法向量.(4,3,6)n解:设平面ABC的一个法向量为(,,)nxyz则nABnAC��，. (3,4,0)AB�,(3,0,2)AC�∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0xyzxyz即340320xyxz∴3432yxzx取4x,则(4,3,6)n∴(4,3,6)n是平面ABC的一个法向量.问题:如何求平面的法向量?⑴设平面的法向量为(,,)nxyz⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)aabcbabc⑶根据法向量的定义建立关于,,xyz的方程组00nanb⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.练习:1.已知(2,2,1),(4,5,3),ABAC�求平面ABC的单位法向量.2.若两个平面,的法向量分别是(1,0,1),(1,1,0)uv,则这两个平面所成的锐二面角的度数是________.122(333，，）或122(333，，）.思考题.如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=2,求二面角A-PB-C的余弦值.60zxy解:设平面ABC的一个法向量为(,,)nxyz则nABnAC��，.∴(,,)(2,2,1)0(,,)(4,5,3)0xyzxyz即2204530xyzxyz∴22yxzx① 2221xyz②∴由①②得13x∴平面ABC的单位法向量为122(333，，）或122(333，，）.练习:1.已知(2,2,1),(4,5,3),ABAC�求平面ABC的单位法向量.思考题.如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=2,求二面角A-PB-C的余弦值.zxy分析:若用几何法本题不太好处理,注意到适当建立空间直角坐标系后各点坐标容易处理,可考虑尝试用向量法处理,从而把问题转化为向量运算问题.解:建立坐标系如图,则A(0,0,0),B(2,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),AP�=(0,0,1),(2,1,0),AB�(2,0,0),CB�(0,1,1)CP�,设平面PAB的法向量为m�=(x,y,z),解:建立坐标系如图,则A(0,0,0),B(2,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),zxyAP�=(0,0,1),(2,1,0),AB�(2,0,0),CB�(0,1,1)CP�,∴(,,)(0,0,1)0(,,)(2,1,0)0xyzxyz∴20yxz,令x=1,则m�=(1,2,0),设平面PAB的法向量为m�=(x,y,z),则00mAPmAB��设平面PBC的法向量为(,,)nxyz,(,,)(2,0,0)0(,,)(0,1,1)0xyzxyz∴0xyz令1,y(0,1,1)n∴cos3,||||3mnmnmn, 二面角为锐角∴二面角A-PB-C的余弦值为33则00nCBnCP����刚才的思考具有一般性,当解空间图形问题几何法难进行时,可以尝试运用空间向量(或坐标)来处理(三步曲):（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.（化为向量问题或向量的坐标问题）（进行向量运算）（回到图形）例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图1解:如图1,不妨设11ABAAAD化为向量问题依据向量的加法法则，11ACABADAA�进行向量运算2211()ACABADAA�2221112()ABADAAABADABAAADAA�1112(cos60cos60cos60)6回到图形问题∴这个晶体的...
