习题2.3-(3)VIP专享VIP免费

第二讲椭圆、双曲线、抛物线1．定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．2．标准方程：焦点在x轴上：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)；焦点在y轴上：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)；焦点不确定：mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．3．离心率：e＝ca＝1－（ba）2<1.4．过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为2b2a.[例1](2012年高考安徽卷)如图，点F1(－c，0)，F2(c，0)分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝a2c于点Q.(1)如果点Q的坐标是(4，4)，求此时椭圆C的方程；(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．[解析]解法一由条件知，P(－c，b2a)，故直线PF2的斜率为kPF2＝b2a－0－c－c＝－b22ac.因为PF2⊥F2Q，所以直线F2Q的方程为y＝2acb2x－2ac2b2，故Q(a2c，2a)．由题设知，a2c＝4，2a＝4，解得a＝2，c＝1.故椭圆方程为x24＋y23＝1.解法二设直线x＝a2c与x轴交于点M.由条件知，P(－c，b2a)．因为△PF1F2∽△F2MQ，所以|PF1||F2M|＝|F1F2||MQ|，即b2aa2c－c＝2c|MQ|，解得|MQ|＝2a.所以a2c＝4，2a＝4，解得a＝2，c＝1.故椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)证明：直线PQ的方程为y－2ab2a－2a＝x－a2c－c－a2c，即y＝cax＋a.将上式代入x2a2＋y2b2＝1得x2＋2cx＋c2＝0，解得x＝－c，y＝b2a.所以直线PQ与椭圆C只有一个交点．解析：圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m<0)，∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1，0)．由题意知直线l的方程为x＝－c，又 直线l与圆M相切，∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.答案：C1．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：x2a2＋y23＝1的左焦点为F(－c，0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为()A.34B．1C．2D．4答案：A2．(2012年山东师大附中一测)点P是椭圆x225＋y216＝1上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P点在第一象限时，P点的纵坐标为()A.83B.58C.38D.85解析：由题意知，|PF1|＋|PF2|＝10，|F1F2|＝6，设点P的纵坐标为yp，由题意易知S△PF1F2＝12(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)×1＝12|F1F2|·yp，所以yp＝|PF1|＋|PF2||F1F2|＋1＝83.1．定义式：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)．2．标准方程焦点在x轴上：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，焦点在y轴上：y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，焦点不明确：mx2＋ny2＝1(mn<0)．(3)焦点在x轴上，渐近线的斜率k＝±ba，焦点在y轴上，渐近线的斜率k＝±ab；(4)与x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．[例2](1)(2012年高考湖南卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.x220－y25＝1B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1D.x220－y280＝1(2)(2012年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2m－y2m2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________．[解析](1)根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解． 双曲线x2a2－y2b2＝1的焦距为10，∴c＝5＝a2＋b2.①[答案](1)A(2)2又双曲线渐近线方程为y＝±bax，且P(2，1)在渐近线上，∴2ba＝1，即a＝2b.②由①②解得a＝25，b＝5，故应选A.(2)建立关于m的方程． c2＝m＋m2＋4，∴e2＝c2a2＝m＋m2＋4m＝5，∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2.答案：A1．(2012年合肥模拟)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点F，作圆x2＋y2＝a2的切线FM交y轴于点P，切圆于点M，，则双曲线的离心率是()A.2B.3C．2D.5解析：由已知条件知，点M为直角三角形OFP斜边PF的中点，故OF＝2OM，即c＝2a，所以双曲线的离心率为2.2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2＝π6，则双曲线的渐近线方程为__________________．解析：根据已知得点P的坐标为(c，±b2a)，则|PF2|＝b2a，又∠PF1F2＝π6，则|PF1|＝2b2a，故2b2a－b2a＝2a，所以b2a2＝2，ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±2x.答案：y＝±2x1．定义式：|PF|＝d.2．根据焦点及开口确定标准方程．注意p>0时才有几何意义，即焦点到准线的距离．3．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A、B...