课后巩固一、选择题1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于()A．30°B．60°C．150°D．以上均错2．在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C夹角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°3．平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的2倍，则斜线与平面所成角的大小为()A．30°B．60°C．45°D．120°二、解答题1.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．求EB与平面ABCD夹角的余弦值．2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，A1B⊥B1C，求：B1C与侧面A1ABB1夹角的正弦值．3.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD；AD＝PD，E、F分别为CD，PB的中点．(1)求证：EF⊥平面PAB；(2)设AB＝BC，求AC与平面AEF夹角的正弦值．4.四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，SA＝SB＝(1)证明：SA⊥BC；(2)求直线SD与平面SBC夹角的正弦值．练习答案一、选择题1．B[当直线l的方向向量ν与平面α的法向量n的夹角〈n，ν〉小于90°时，直线l与平面α所成的角与之互余．]2．C3．B二、解答题1.解取CD的中点M，则EM∥PD，又∵PD⊥平面ABCD，∴EM⊥平面ABCD，∴BE在平面ABCD上的射影为BM，∴∠MBE为BE与平面ABCD的夹角，如图建立空间直角坐标系，设PD＝DC＝1，则P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，∴M，E，cos〈BM，BE〉＝＝＝，∴BE与平面ABCD夹角的余弦值为.2.解如图所示，建立空间直角坐标系，设BC＝1，CC1＝a，则A(2，0，0)，A1(2，0，a)，B(0，1，0)，B1(0，1，a)．∴A1B＝(－2，1，－a)，B1C＝(0，－1，－a)，AB＝(－2，1，0)，AA1＝(0，0，a)．∵A1B⊥B1C，∴A1B·B1C＝0，∴a＝1，B1C＝(0，－1，－1)．设平面A1ABB1的一个法向量为n＝(x，y，z)，由⇒⇒令x＝1，则有y＝2，可取n＝(1，2，0)．设B1C与侧面A1ABB1的夹角为θ，所以sinθ＝|cos〈B1C，n〉|＝＝，则有B1C与侧面A1ABB1夹角的正弦值为.3.(1)以D为原点，DC，DA，DP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设PD＝1，AB＝a.则C(a，0，0)，A(0，1，0)，E，B(a，1，0)，F，P(0，0，1)∴EF＝，AB＝(a，0，0)，PA＝(0，1，－1)，∴EF·AB＝0，EF·PA＝0，即EF⊥AB，EF⊥PA，又AB∩PA＝A，∴EF⊥平面PAB；(2)∵AB＝BC，∴a＝，AC＝(，－1，0)，AE＝，EF＝.设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·EF＝0⇒y＋z＝0，n·AE＝0⇒x－y＝0，令x＝，则y＝1，z＝－1，∴平面AEF的一个法向量n＝(，1，－1)．设AC与平面AEF的夹角为α，sinα＝|cos〈AC，n〉|＝，所以AC与平面AEF的夹角正弦值为4．解(1)作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD.因为SA＝SB，所以AO＝BO.又∠ABC＝45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB.如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系．因为AO＝BO＝AB＝，SO＝＝1，又BC＝2，所以A(，0，0)，B(0，，0)，C(0，－，0)，S(0，0，1)，SA＝(，0，－1)，CB＝(0，2，0)，因为SA·CB＝0，所以SA⊥BC.(2)SD＝SA＋AD＝SA－CB＝(，－2，－1)，OA＝(，0，0).OA与SD的夹角记为α，SD与平面SBC的夹角记为β，因为OA为平面SBC的法向量，所以α与β互余．cosα＝＝，sinβ＝，所以，直线SD与平面SBC夹角的正弦值为.
