上一页返回首页下一页阶段一阶段二阶段三学业分层测评四柱坐标系与球坐标系简介上一页返回首页下一页1．了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置．(重点)2．知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式，并用于解题．(难点、易错点)上一页返回首页下一页[基础·初探]教材整理1柱坐标系阅读教材P16～P17“思考”及以上部分，完成下列问题．一般地，如图141，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点．它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作，其中ρ≥0,0≤θ<2π，－∞＜Z＜＋∞.图141(ρ，θ，z)P(ρ，θ，z)柱坐标系上一页返回首页下一页已知点A的柱坐标为(1,0,1)，则点A的直角坐标为()A．(1,1,0)B．(1,0,1)C．(0,1,1)D．(1,1,1)【解析】 x＝ρcosθ＝1，y＝ρsinθ＝0，z＝1，∴直角坐标为(1,0,1)，故选B.【答案】B上一页返回首页下一页教材整理2球坐标系阅读教材P17～P18，完成下列问题．一般地，如图142，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的为θ.这样点P的位置就可以用有序数组表示．这样，空间的点与有序数组之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记做P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.图142最小正角(r，φ，θ)(r，φ，θ)上一页返回首页下一页已知点A的球坐标为3，π2，π2，则点A的直角坐标为()A．(3,0,0)B．(0,3,0)C．(0,0,3)D．(3,3,0)【解析】 x＝3×sinπ2×cosπ2＝0，y＝3×sinπ2×sinπ2＝3，z＝3×cosπ2＝0，∴直角坐标为(0,3,0)．故选B.【答案】B上一页返回首页下一页[小组合作型]点的柱坐标与直角坐标互化(1)设点M的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标系中的坐标；(2)设点N的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．上一页返回首页下一页【思路探究】(1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z，求出ρ，θ即可．(2)已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标，利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z，求出x，y，z即可．上一页返回首页下一页【自主解答】(1)设M的柱坐标为(ρ，θ，z)，则由1＝ρcosθ，1＝ρsinθ，z＝1，解之得，ρ＝2，θ＝π4，因此，点M的柱坐标为2，π4，1.上一页返回首页下一页(2)设N的直角坐标为(x，y，z)，则由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z，得x＝πcosπ，y＝πsinπ，z＝π，∴x＝－π，y＝0，z＝π，因此，点N的直角坐标为(－π，0，π)．上一页返回首页下一页1．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z，求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tanθ＝yx，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．2．点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同．上一页返回首页下一页[再练一题]1．根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：(1)2，5π6，3；(2)2，3π4，2.上一页返回首页下一页【解】设点的直角坐标为(x，y，z)．(1)x＝ρcosθ＝2cos5π6＝－3，y＝ρsinθ＝2sin5π6＝1，z＝3，因此所求点的直角坐标为(－3，1,3)．上一页返回首页下一页(2)x＝ρcosθ＝2cos3π4＝－1，y＝ρsinθ＝2sin3π4＝1，z＝2，因此所求点的直角坐标为(－1,1,2).上一页返回首页下一页将点的球坐标化为直角坐标已知点M的球坐标为2，34π，34π，求它的直角坐标．【思路探究】球坐标――――――――――――――→x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ直角坐标上一页返回首页下...
