第八节实际问题的函数建模考纲点击1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.热点提示1.考查数学建模能力以及分析问题、解决问题的能力；几种增长型函数模型的应用可能会成为2011年高考的又一生长点.2.多以解答题的形式出现，属中、高档题，偶尔也会在选择题、填空题中考查.1.几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型(2)三种增长型函数之间增长速度的比较①指数函数y＝ax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)在区间(0∞，＋)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于ax的增长xn的增长，因而总存在一个x0，当x>x0时有.②对数函数y＝logax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)对数函数y＝logax(a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x>x0时有.由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此没能在(0∞＋)上，总会存在一个x0，使x>x0时有.快于ax>xn慢于logaxxn>logax2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)：求解数学模型，得出数学结论；(4)：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：审题建模求模还原1.下列函数中，随x的增大而增大速度最快的是()A.y＝\f(1,100)exB．y＝100lnxC.y＝x100D．y＝100·2x【答案】A【解析】 在(0∞，＋)上，总存在一个x0，使x>x0时，有ax>xn>logax.∴排除B、C，又 e>2，∴的增长速度大于100·2x的增长速度．2.在一定范围内，某种产品的购买量yt与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1000t，每吨为800元；购买2000t，每吨为700元；一客户购买400t，单价应该是()A.820元B．840元C.860元D．880元【解析】依题意，可设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，由x＝800，y＝1000及x＝700，y＝2000，可得k＝－10，b＝9000，即y＝－10x＋9000，将y＝400代入得x＝860.【答案】C3.某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款()A.570.3元B．582.6元C.590.5元D．600元【答案】B【解析】由题意得付款432元时,实际标价为432×＝480元时，如果一次购买标价176＋480＝656(元)的商品应付款,500×0.9＋156×0.85＝582.6(元)．4.某种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价________．【答案】11.11%【解析】设商品原价为a，应提价为x，则有a(1－10%)(1＋x)＝a，5.某工厂生产其种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________．【答案】2500万元【解析】总利润L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2000＝－(Q－300)2＋2500.故当Q＝300时，总利润最大值为2500万元．一次函数与二次函数模型某人要做一批地砖，每块地砖(如图1所示)是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)E、F在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用最省？【思路点拨】(1)需证明其四边相等，且四个内角均为90°；(2)先列出函数表达式，由函数模型求出最值【自主探究】(1)图2是由四块图1所示地砖组成，由图1依次逆时针旋转90°，180°，270°后得到，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴△CFE为等腰直角三角形，∴四边形EFGH是正方形．(2)设CE＝x，则BE＝0.4－...
