济南大学2010~2011学年第一学期(C)课程考试试卷评分标准(含参考答案)一、填空题(每小题3分,共15分)2211211.lim()______.1()2.()1lim2(1)=______.13.lnln()=______.4._____.xxxxxfxfxxfxyxxdyxedx函数在处连续,且,则已知,则122212xeC1lndxxx205.|sin|_______.xdx41.当0x时,下列无穷小中不与其它三个同阶的是[].A.1cosx;B.22()1e;C.2ln(1)x;D.arctanxx.二、选择题(每小题2分,共10分):Bkey的导数不存在。取得极小值;取得极大值;;的导数存在,且)处(,则在点、设)(.)(.)(.0)()(.1)()()(lim2'2xfDxfCxfBafxfAaxaxafxfaxB),(,0)()(),(0)()()(2δaUxafxfδaUxaxafxfoo那么显然有,可得利用极限的局部保号性是极大值。时,有是极小值;时,有有结论换成如果把)(0)(0,1afkafkk3.设函数(),fab则()()limxafxfaxa[].A.2abB.1;C.2ab;D.2ba.:Dkey()()limxafxfaxa()lim2xafxxlim(2())xaxfx2xaba利用洛必达法则,直接求导4.设函数()fx在区间[1,1]上连续,则0x是函数0()()xftdtgxx的[].A.可去间断点;B.跳跃间断点;C.无穷间断点;D.振荡间断点.:Akey利用洛必达法则,直接求导00()limxxftdtx0()lim1xfx(0)f()0.gxx在处没定义,所以是可去间断点(1)求曲线21022:,ln(2)tuxeduLytt在点(0,0)处的切线方程.三、(每小题8分,共16分)解:在点(0,0)处,1t22122[2ln(2)]|22tdyttttdtt2(1)1()|1ttdxedt1|2,2tdykyxdx2.yx切线方程为(2)试确定22(3)ykx中k的值,使曲线在拐点处的法线通过原点(0,0).解:232(3)2412ykxxkxkx,2121212(1)(1)ykxkkxx令0y,121,1xxy在121,1xx两侧变号,所以(1,4)k,(1,4)k为曲线的拐点,过点(1,4)k的法线方程为14(1)8YkXk,又法线通过原点(0,0).故28k,11x时,同理可得28k.四、计算题(每小题8分,共32分)1.xdxx1.解:1tx令,2221122111()xtdxdtdtxtt22arctanttC21,2xtdxtdt则2121arctanxxC四、计算题(每小题8分,共16分)1lim(),.aaxtxxtedtax已知求2.解:1lim()axaxxex左|aattattedtteedt右(1),aaeae因为(1)aataaeedtae2.a所以(3)设0[()()]sin3,fxfxxdx()2f,求(0)f.0000[()()]sin()sin()sin|()sinfxfxxdxfxxdxfxxfxdx000()sin()cos|()sin()(0)3fxxdxfxxfxxdxff(0)1f解:(1)已知制作一个背包的成本为40元,如果每一个背包的售出价为x元,售出的背包数由(80)40anbxx给出,其中,ab为正常数,问什么样的售出价格能带来最大利润?解:设利润函数为()(40)(40)(80)LxRCxnabxx()(1202)Lxbx令()0,60Lxx()20Lxb60x为唯一的极大值点,故售出价格在60元能带来最大利润.五、应用题(每小题8分,共16分)五、(每小题8分,共16分)2.在曲线L:2(01)yxt上取一点2(,)tt,直线2yt,0x,1x与曲线L围成两图形A与B(图中斜线部分),其面积分别记为AS与BS.问:当t取何值时,AS与BS之和为最小?.AB解:122220()()()tABtStSStxdxxtdx0122222200()()()tttxdxxtdxxtdx122223200412()()33ttxdxxtdxtt(01)t21()422Stttt1()202S12t是唯一极小值点,也是最小值点11()24Ssin(),cos2xtyyxyt设函数由参数方程确定2.解:根据导数的几何意义,得切线斜率为所求法线方程为42sin2|22,cos=ttt2cos(sin),224yx4|tdykdx切10,4xy令得.().4yyxxy求曲线在处的法线与轴交点的坐标即22(),42yx104y所以与轴交点的坐标为(,-).六、证明题(7分)设0,ab用拉格朗日中值定理证明:lnabaababb.证:令()lnfxx,函数()fx在[,]ba上连续,(,)ba内可导,由拉格朗日中值定理知:()()()()fafbfab,即1lnln()abab又0,ba故1110,ab因此,abababab即lnabaababb