1011高数C(一)试题及解答VIP免费

济南大学2010~2011学年第一学期（C）课程考试试卷评分标准（含参考答案）一、填空题（每小题3分，共15分）2211211.lim()______.1()2.()1lim2(1)=______.13.lnln()=______.4._____.xxxxxfxfxxfxyxxdyxedx函数在处连续，且，则已知，则122212xeC1lndxxx205.|sin|_______.xdx41．当0x时，下列无穷小中不与其它三个同阶的是[].A．1cosx；B．22()1e；C．2ln(1)x；D．arctanxx.二、选择题（每小题2分，共10分）:Bkey的导数不存在。取得极小值；取得极大值；；的导数存在，且）处（，则在点、设)(.)(.)(.0)()(.1)()()(lim2'2xfDxfCxfBafxfAaxaxafxfaxB),(,0)()(),(0)()()(2δaUxafxfδaUxaxafxfoo那么显然有，可得利用极限的局部保号性是极大值。时，有是极小值；时，有有结论换成如果把)(0)(0,1afkafkk3.设函数(),fab则()()limxafxfaxa[].A．2abB．1；C．2ab；D．2ba.:Dkey()()limxafxfaxa()lim2xafxxlim(2())xaxfx2xaba利用洛必达法则，直接求导4.设函数()fx在区间[1,1]上连续，则0x是函数0()()xftdtgxx的[].A．可去间断点；B．跳跃间断点；C．无穷间断点；D．振荡间断点.:Akey利用洛必达法则，直接求导00()limxxftdtx0()lim1xfx(0)f()0.gxx在处没定义，所以是可去间断点（1）求曲线21022:,ln(2)tuxeduLytt在点(0,0)处的切线方程.三、（每小题8分，共16分）解：在点(0,0)处，1t22122[2ln(2)]|22tdyttttdtt2(1)1()|1ttdxedt1|2,2tdykyxdx2.yx切线方程为(2)试确定22(3)ykx中k的值，使曲线在拐点处的法线通过原点(0,0).解：232(3)2412ykxxkxkx,2121212(1)(1)ykxkkxx令0y，121,1xxy在121,1xx两侧变号，所以(1,4)k，(1,4)k为曲线的拐点，过点(1,4)k的法线方程为14(1)8YkXk,又法线通过原点(0,0).故28k，11x时，同理可得28k.四、计算题（每小题8分，共32分）1.xdxx1.解：1tx令，2221122111()xtdxdtdtxtt22arctanttC21,2xtdxtdt则2121arctanxxC四、计算题（每小题8分，共16分）1lim(),.aaxtxxtedtax已知求2.解：1lim()axaxxex左|aattattedtteedt右(1),aaeae因为(1)aataaeedtae2.a所以(3)设0[()()]sin3,fxfxxdx()2f，求(0)f.0000[()()]sin()sin()sin|()sinfxfxxdxfxxdxfxxfxdx000()sin()cos|()sin()(0)3fxxdxfxxfxxdxff(0)1f解：（1）已知制作一个背包的成本为40元，如果每一个背包的售出价为x元，售出的背包数由(80)40anbxx给出，其中,ab为正常数，问什么样的售出价格能带来最大利润？解：设利润函数为()(40)(40)(80)LxRCxnabxx()(1202)Lxbx令()0,60Lxx()20Lxb60x为唯一的极大值点，故售出价格在60元能带来最大利润.五、应用题（每小题8分，共16分）五、（每小题8分，共16分）2.在曲线L：2(01)yxt上取一点2(,)tt，直线2yt，0x，1x与曲线L围成两图形A与B（图中斜线部分），其面积分别记为AS与BS.问：当t取何值时，AS与BS之和为最小？.AB解：122220()()()tABtStSStxdxxtdx0122222200()()()tttxdxxtdxxtdx122223200412()()33ttxdxxtdxtt(01)t21()422Stttt1()202S12t是唯一极小值点，也是最小值点11()24Ssin(),cos2xtyyxyt设函数由参数方程确定2.解：根据导数的几何意义,得切线斜率为所求法线方程为42sin2|22,cos=ttt2cos(sin),224yx4|tdykdx切10,4xy令得.().4yyxxy求曲线在处的法线与轴交点的坐标即22(),42yx104y所以与轴交点的坐标为(,-).六、证明题（7分）设0,ab用拉格朗日中值定理证明：lnabaababb.证：令()lnfxx，函数()fx在[,]ba上连续，(,)ba内可导，由拉格朗日中值定理知：()()()()fafbfab，即1lnln()abab又0,ba故1110,ab因此,abababab即lnabaababb