6.3数学归纳法VIP免费

选修2-2（湘教版）6.3数学归纳法（第一课时）主讲人：蔡春晖安徽省宿松县九姑中学数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。其格式主要有两个步骤、一个结论:（1）验证当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时结论正确；验证初始条件（2）假设n=k时结论正确，在假设之下，证明n=k+1时结论也正确；假设推理（3）由（1）、（2）得出结论.点题找准起点奠基要稳用上假设递推才真写明结论才算完整一、数学归纳法定义：例：是否存在常数a、b,使得等式:对一切正整数n都成立,并证明你的结论.2)12)(12(5323112222bnnannnn解:令n=1,2,并整理得.41{,231013{bababa以下用数学归纳法证明:).(24)12)(12(532311*2222Nnnnnnnn(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.(1)数学归纳法证明等式问题：二、数学归纳法应用举例：(2)假设当n=k时结论正确,即:.24)12)(12(5323112222kkkkkk则当n=k+1时,.2)1(4)1()1(6423)32)(12(2)2)(12)(1()32)(12(2)2232)(1()32)(12(2)1(2)32)(1()32)(12()1(24)32)(12()1()12)(12(5323112222222222kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk故当n=k+1时,结论也正确.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.(2)数学归纳法证明整除问题：例：用数学归纳法证明:当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命题成立.(2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除.则当n=2k+2时,有kkkkyyxxyx22222222))(()()()(2222222222yxyxyyxxyxyyxxkkkkkk都能被x+y整除.))(()(2222yxyxyyxxkkk、故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立.由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.分组训练（讨论）：1、用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。2、用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n1)=n21．用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1+（1-1)·d=a1,∴当n=1时，等式成立(2)假设当n=k时等式成立，即ak=a1+(k-1)d则当n=k+1时ak+1=ak+d=a1+(k-1)d+d=a1+[(k+1)-1]d∴当n=k+1时，等式也成立。由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N*都成立。凑假设结论从n=k到n=k+1有什么变化证明:(1)当n=1时左＝1，右＝12＝1∴n=1时，等式成立(2)假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k1)=k2那么，当n=k+1时左＝1+3+5+…+(2k1)＋[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1时等式成立由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立递推基础递推依据2.用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n1)=n2练习用数学归纳法证明:(1))1(21...321nnn（2）1+2+22+…+2n-1=2n-1（3）首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式是an=a1qn-1感悟与收获(1)本节的中心内容是数学归纳法的应用;(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分为完全归纳法和不完全归纳法二种;(3)由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确,因而必须作出证明，证明可用数学归纳法进行;(4)数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思路是递推思想，它的操作步骤必须是二步，其中第二步的证明必须要利用假设的结论。今日作业1.资料P27习题2.1第4题，第5题。2.上网查阅利用数学归纳法证明几何问题。