【南方新课堂】2014年高考数学一轮总复习-(基础轻过关+考点巧突破)第九章-第5讲-利用几类经典的递推关系VIP免费

考纲要求考纲研读1.了解用通项公式表示数列的方法．2．掌握等差数列、等比数列的通项公式．3．能用等差数列、等比数列的基本思想求其他数列的通项公式.1.掌握等差数列、等比数列的通项公式是基础．2．能用累差、累商的方法求通项公式．3．能利用待定系数法求几类经典的递推关系式的通项公式.第5讲利用几类经典的递推关系式求通项公式数列通项的常用方法(1)利用观察法求数列的通项．(2)利用公式法求数列的通项：①等差、等比数列{an}的通项公式；②an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.(3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项：①an＋1＝an＋f(n)；②an＋1＝anf(n)．(4)构造等差、等比数列求通项：①an＋1＝pan＋q；②an＋1＝pan＋qn；③an＋1＝pan＋f(n)；④an＋2＝p·an＋1＋q·an.1．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3等于()A.94B.32C.259D.2516A．131B.13C．111D.112．在数列{an}中，若an＋1＝an2an＋1，a1＝1，则a6＝()AD4．已知等差数列{an}的前三项分别为a－1,2a＋1，a＋7，则这个数列的通项公式为____________.3．已知等差数列{an}和等比数列{bn}各项都是正数，且a1＝b1，a2n＋1＝b2n＋1，那么一定有()A．an＋1≤bn＋1B．an＋1≥bn＋1C．an＋1＜bn＋1D．an＋1＞bn＋15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则an＝____.B2nan＝4n－3考点1递推关系形如“”的数列求通项an＋1＝pan＋q例1：已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求数列{an}的通项公式．解题思路：递推关系形如“an＋1＝pan＋q”是一种常见题型，适当变形转化为等比数列．解析： an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)．∴{an＋3}是以2为公比的等比数列，其首项为a1＋3＝4.∴an＋3＝4×2n－1⇒an＝2n＋1－3.项公式为____________.【互动探究】1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝23an－2，则数列{an}的通7×23n－1－6解析：an＋1＝23an－2⇒an＋1＋6＝23(an＋6)，∴an＝7×23n－1－6.考点2递推关系形如“an＋1＝pan＋f(n)”的数列求通项例2：已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝12an＋12n(n∈N*)．求数列{an}的通项公式．解析：令an＋1＋A(n＋1)＋B＝p(an＋An＋B)，即an＋1＝pan＋pAn－A(n＋1)＋pB－B.比较系数，得A＝－1，B＝2.∴an＋1－(n＋1)＋2＝12(an－n＋2)，且a1－1＋2＝32≠0.∴数列an－n＋2是等比数列，其公比为12，首项为32.∴an－n＋2＝32×(12)n－1，an＝32n＋n－2.递推关系形如“an＋1＝p·an＋An＋B”等价转化为an＋1＋A(n＋1)＋B＝12(an＋An＋B)，利用待定系数法求出A，B后，进而转化为等比数列．【互动探究】2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明数列an－n是等比数列；(2)设数列{an}的前n项和Sn，求Sn＋1－4Sn的最大值．解：(1)证明：令an＋1＋A(n＋1)＋B＝4(an＋An＋B)，即an＋1＝4an＋3An＋3B－A.比较系数，得A＝－1，B＝0.∴an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，且a1－1＝1≠0.∴数列{an－n}是等比数列，其公比为4，首项为1.(2)解：由(1)得an－n＝1×4n－1，an＝4n－1＋n，∴数列{an}的前n项和Sn＝4n－13＋nn＋12.∴Sn＋1－4Sn＝4n＋1－13＋n＋1n＋22－44n－13＋nn＋12＝－12(3n2＋n－4)．故n＝1时，Sn＋1－4Sn最大，最大值为0.解题思路：适当变形转化为可求和的数列．考点3递推关系形如“an＋1＝pan＋qn”的数列求通项例3：已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3n，求数列{an}的通项公式．解析：方法一： an＋1＝2an＋3n，∴an＋12n＝an2n－1＋32n.令an2n－1＝bn，则bn＋1－bn＝32n.∴bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝32n－1＋32n－2＋32n－3＋…＋322＋32＋1＝2×32n－2.∴an＝3n－2n.方法二： an＋1＝2an＋3n，∴an＋13n＝23·an3n－1＋1.令an3n－1＝bn，则bn＋1＝23bn＋1，转化为“an＋1＝pan＋q”(解法略)．【互动探究】解题思路：用待定系数法或特征根法求解．3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－2an＝2n，...