2.10--导数的应用VIP免费

要点梳理1.函数的单调性对于函数y=f(x)，如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的______；如果在某区间上f′(x)<0,那么f(x)为该区间上的_______.§2.10导数的应用基础知识自主学习增函数减函数2.函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,①如果在x0附近的左侧________,右侧________,那么f(x0)是极大值.②如果在x0附近的左侧________,右侧________,那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x);②求方程________的根;③检查f′(x)在方程_________的根左右值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得______;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得_______.f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>0f′(x)=0f′(x)=0极大值极小值3.函数的最值(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增，则____为函数的最小值，_____为函数的最大值；若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则_____为函数的最大值,_____为函数的最小值.(3)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:①求f(x)在(a,b)内的_____;②将f(x)的各极值与_________比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.f(a)f(b)f(a)f(b)极值f(a),f(b)基础自测1.函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为______.解析f′(x)=(x3-3x2+1)′=3x2-6x, 当f′(x)<0,f(x)单调递减,∴3x2-6x<0,即00;当x>1时,y′<0.∴当x=1时,有y极大值=1+3-1=3;当x=-1时,有y极小值=1-3+1=-1.3,-13.函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是___.解析f′(x)=3x2-6x,令f(x)=0,得x=0,x=2(舍去).比较f(-1),f(0),f(1)的大小知f(x)max=f(0)=2.4.函数y=ax3-x在(-∞,+∞)上是减函数,则a的取值范围是_______.解析y′=3ax2-1, 函数y=ax3-x在(-∞,+∞)上是减函数,∴3ax2-1≤0在R上恒成立,即ax2≤恒成立,∴a≤0.a≤0312【例1】已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围;(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由;(3)证明:f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.(1)求f′(x)转化成恒成立问题;(2)假设存在a,求出a值进行检验.典型例题深度剖析分析(1)解由已知f′(x)=3x2-a, f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,∴f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立. 3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时,f′(x)=3x2≥0,即f(x)=x3-1在R上是增函数,∴a≤0.(2)解由f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立. -10,因此f(x)的递增区间是递减区间是,,axax或解得),,(),,(aa).,(aa31【例2】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0,若x=时,y=f(x)有极值.(1)求a,b,c的值;(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.(1)根据条件列出a,b,c的三个方程;(2)按照求最值的步骤求出最值.分析32解(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f′(x)=3x2+2ax+b,当x=1时,切线l的斜率为3,可得2a+b=0①当x=时,y=f(x)有极值,则可得4a+3b+4=0②由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.∴1+a+b+c=4.∴c=5.32,)(032f(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴f′(x)=3x2+4x-4,令f′(x)=0,得x=-2,x=当x变化时,y,y′的取值及变化如下表:∴y=f(x)在[-3,1]上的最大值为13,最小值为x-3(-3,-2)-21y′+0-0+y8单调递增13单调递减单调递增4),(32232),(1322795.2795跟踪练习2(2009·广东三校联考)已...