第第1919讲转化与化归思想讲转化与化归思想第19讲│转化与化归思想主干知识整合第19讲│主干知识整合解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题(相对来说，转化为自己较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”．第19讲│主干知识整合化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程．化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现．要点热点探究第19讲│要点热点探究►探究点一特殊与一般的转化例1已知数列{an}，{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1，b1，且a1＋b1＝5，a1，b1∈N*，设cn＝abn(n∈N*)，则数列{cn}的前10项和等于________．【答案】85第19讲│要点热点探究【解析】用特殊化策略．设b1＝1，则a1＝ab1＝4.从而bn＝n，于是有cn＝abn＝ab1＋(bn－1)·1＝4＋n－1＝n＋3.c1＋c2＋…＋c10＝(1＋2＋…＋10)＋30＝85.第19讲│要点热点探究【点评】本题根据选择题的特点，对b1赋予特殊值，求出数列{cn}的前10项和，由特殊到一般，再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一．对数学而言，这种由特殊到一般，再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识的过程，就是数学研究的特殊与一般的思想．在高考中，会有意设计一些能集中体现特殊与一般的思想的试题，例如：(1)由一般归纳法进行猜想的试题；(2)由平面到立体，由特殊到一般进行类比猜想的试题；(3)抽象函数问题；(4)定点，定值问题；(5)用特殊化方法解选择题等．第19讲│要点热点探究►探究点二正与反的转化例2试求常数m的范围，使曲线y＝x2的所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平分．第19讲│要点热点探究【解答】“不能”的反面是“能”，被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称，问题转化为“抛物线y＝x2上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称，求m的取值范围”．再求出m的取值集合的补集即为原问题的解．抛物线上两点(x1，x21)，(x2，x22)关于直线y＝m(x－3)对称，满足x21＋x222＝mx1＋x22－3，x21－x22x1－x2＝－1m，∴x21＋x22＝mx1＋x2－6，x1＋x2＝－1m.第19讲│要点热点探究消去x2得2x21＋2mx1＋1m2＋6m＋1＝0. x1∈R，∴Δ＝2m2－81m2＋6m＋1>0，∴(2m＋1)(6m2－2m＋1)<0，∴m<－12.即当m<－12时，抛物线上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称．而原题要求所有弦都不能被直线垂直平分，那么所求的范围为m≥－12.【点评】(1)在运用补集的思想解题时，一定要搞清结论的反面是什么，这里所有的弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平分的反面是“至少存在一条弦能被直线y＝m(x－3)垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直线y＝m(x－3)垂直平分”．(2)在探讨某一问题的解决办法时，如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难，则应从反面的方向去探求．第19讲│要点热点探究在两数a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列，则这10个数的和为________．【答案】5(a＋b)第19讲│要点热点探究【解析】首先要设出所插入的10个数x1，x2，x3，…，x10.利用已知条件求出公差d和插入的10个数的首项x1，然后利用求和公式来求和过程繁琐，若从“正难则反”的策略来考虑此题的解法，利用整体思想，则解题过程非常简单．设所插入的10个数的和为S，则S＝S12－(a＋b)＝12a＋b2－(a＋b)＝5(a＋b)．第19讲│要点热点探究第19讲│要点热点探究►探究点三常量与变量的转化例3已知f(t)＝log2t，t∈[2，8]，对于f(t)值域内的所有实...
