1/8利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典）一．基本不等式的常用变形1.若0x，则12xx(当且仅当1x时取“=”）;若0x，则12xx(当且仅当_____________时取“=”）若0x，则11122-2xxxxxx即或(当且仅当____________时取“=”）2.若0ab，则2abba(当且仅当____________时取“=”）若0ab，则22-2abababbababa即或(当且仅当_________时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”二、利用基本不等式求最值的技巧：技巧一：直接求：例1已知,xyR，且满足134xy，则xy的最大值为________。解：因为x>0，y>0，所以234343xyxyxy(当且仅当34xy，即x=6，y=8时取等号)，于是13xy，3.xy，故xy的最大值3.变式：若44loglog2xy，求11xy的最小值.并求x,y的值解： 44loglog2xy2log4xy即xy=1621211211xyyxyx当且仅当x=y时等号成立技巧二：配凑项求例2：已知54x，求函数14245yxx的最大值。解：5,5404xx，11425434554yxxxx231当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。例3.当时，求(82)yxx的最大值。解：当，即x＝2时取等号当x＝2时，(82)yxx的最大值为8。2/8变式：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。解： 230x∴023x∴2922322)23(22)23(42xxxxxxy当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。例4.求2710(1)1xxyxx的值域。解：当,即时,421)591yxx（（当且仅当x＝1时取“＝”号）。练习：1、已知01x，求函数(1)yxx的最大值.；2、203x，求函数(23)yxx技巧三：“1”的巧妙利用（常数代换）错解．．：0,0xy，且191xy，1992212xyxyxyxyxy故min12xy。错因：解法中两次连用基本不等式，在2xyxy等号成立条件是xy，在1992xyxy等号成立条件是19xy即9yx,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：190,0,1xyxy，1991061016yxxyxyxyxy当且仅当9yxxy时，上式等号成立，又191xy，可得4,12xy时，min16xy。变式：（1）若Ryx,且12yx，求yx11的最小值(2)已知Ryxba,,,且1ybxa，求yx的最小值3/82：已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。(3)设0,0.ab若11333abab是与的等比中项，则的最小值为（）．A．8B．4C．1D．14解析：因为333ba，所以1ba。又0,0,ab所以4222)11)((11baabbaabbababa，当且仅当baab即21ba时取“=”。故选（Ｂ）．技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()afxxx的单调性。例：求函数2254xyx的值域。解：令24(2)xtt，则2254xyx22114(2)4xtttx因10,1ttt，但1tt解得1t不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.（1）231,(0)xxyxx（2）12,33yxxx(3)12sin,(0,)sinyxxx的最大值.技巧六、已知x，y为正实数，且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤a2＋b22。同时还应化简1＋y2中y2前面的系数为12，x1＋y2＝x2·1＋y22＝2x·12＋y224/8下面将x，12＋y22分别看成两个因式：x·12＋y22≤x2＋(12＋y22)22＝x2＋y22＋122＝34即x1＋y2＝2·x12＋y22≤342技巧七：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a＝30－2bb＋1，ab＝30－2bb＋1·b＝－2b2＋30bb＋1由a＞0得，0＜b＜15令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝－2t2＋34t－31t＝－2（t＋16t）＋34 t＋16t≥2t·16t＝8∴ab≤18∴y≥118当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。法二：由已知得：30－ab＝a＋2b a＋2b≥22ab∴30－ab...
