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实用标准文案文档基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式(1)若Rba,,则abba222(2)若Rba,,则222baab2、基本不等式一般形式(均值不等式)若*,Rba,则abba23、基本不等式的两个重要变形(1)若*,Rba,则abba2(2)若*,Rba,则22baab总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值;当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值;特别说明:以上不等式中,当且仅当ba时取“=”4、求最值的条件:“一正,二定,三相等”5、常用结论(1)若0x,则12xx(当且仅当1x时取“=”)(2)若0x,则12xx(当且仅当1x时取“=”)(3)若0ab,则2abba(当且仅当ba时取“=”)(4)若Rba,,则2)2(222babaab(5)若*,Rba,则2211122babaabba特别说明:以上不等式中,当且仅当ba时取“=”6、柯西不等式(1)若,,,abcdR,则22222()()()abcdacbd(2)若123123,,,,,aaabbbR,则有:22222221231123112233()()()aaabbbababab(3)设1212,,,,,,nnaaabb与b是两组实数,则有22212(naaa)22212)nbbb(21122()nnababab二、题型分析题型一:利用基本不等式证明不等式1、设ba,均为正数,证明不等式:ab≥ba1122、已知cba,,为两两不相等的实数,求证:cabcabcba2223、已知1abc,求证:22213abc4、已知,,abcR,且1abc,求证:abccba8)1)(1)(1(5、已知,,abcR,且1abc,求证:1111118abc实用标准文案文档6、(2013年新课标Ⅱ卷数学(理)选修4—5:不等式选讲设,,abc均为正数,且1abc,证明:(Ⅰ)13abbcca;(Ⅱ)2221abcbca.7、(2013年江苏卷(数学)选修4—5:不等式选讲已知0ba,求证:baabba223322题型二:利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域(1)22213xxy(2))4(xxy(3))0(1xxxy(4))0(1xxxy题型三:利用不等式求最值(一)(凑项)1、已知2x,求函数42442xxy的最小值;变式1:已知2x,求函数4242xxy的最小值;变式2:已知2x,求函数4242xxy的最大值;实用标准文案文档练习:1、已知54x,求函数14245yxx的最小值;2、已知54x,求函数14245yxx的最大值;题型四:利用不等式求最值(二)(凑系数)1、当时,求(82)yxx的最大值;变式1:当时,求4(82)yxx的最大值;变式2:设230x,求函数)23(4xxy的最大值。2、若02x,求yxx()63的最大值;变式:若40x,求)28(xxy的最大值;3、求函数)2521(2512xxxy的最大值;(提示:平方,利用基本不等式)变式:求函数)41143(41134xxxy的最大值;实用标准文案文档题型五:巧用“1”的代换求最值问题1、已知12,0,baba,求tab11的最小值;法一:法二:变式1:已知22,0,baba,求tab11的最小值;变式2:已知28,0,1xyxy,求xy的最小值;变式3:已知0,yx,且119xy,求xy的最小值。变式4:已知0,yx,且194xy,求xy的最小值;变式5:(1)若0,yx且12yx,求11xy的最小值;(2)若Ryxba,,,且1ybxa,求yx的最小值;变式6:已知正项等比数列na满足:5672aaa,若存在两项nmaa,,使得14aaanm,求nm41的最小值;实用标准文案文档题型六:分离换元法求最值(了解)1、求函数)1(11072xxxxy的值域;变式:求函数)1(182xxxy的值域;2、求函数522xxy的最大值;(提示:换元法)变式:求函数941xxy的最大值;题型七:基本不等式的综合应用1、已知1loglog22ba,求ba93的最小值2、(2009天津)已知0,ba,求abba211的最小值;变式1:(2010四川)如果0ba,求关于ba,的表达式)(112baaaba的最小值;变式2:(2012湖北武汉诊断)已知,当1,0aa时,函数1)1(logxya的图像恒过定点A,若点A在直线0nymx上,求nm24的最小值;实用标准文案文档3、已知0,yx,822xyyx,求yx2最小值;变式1:已知0,ba,满足3baab,求ab范围;变式2:(2010山东)已知0,yx,312121yx,求xy最大值;(提示:通分或三角换元)变式3:(2011浙江)已知0,yx,122xyyx,求xy最大值;4、(2013年山东(理))设正实数zyx,,满足04322zyxyx,则当zxy取得最大值时,zyx212的最大值为()A.0B.1C.49D.3(提示:代入换元,利用基本不等式以及函数求最值)变式:设zyx,,是正数,满足032zyx,求xzy2的最小值;实用标准文案文档题型八:利用基本不等式求参数范围1、(2012沈阳检测)已知0,yx,且9)1)((yaxyx恒成立,求正实数a的最小值...

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